ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

107
Ф =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
aabb
aabb
nm
nnnnnm
T
n
T
11 1 11 1
11
1
KK
K
KK
K
,
,
()
()
Φ
Φ
. (5.102)
Следовательно уравнение (5.100) запишется в виде
X
k+1
=
Φ
⋅ W
k
, (5.103)
что аналогично уравнению (5.88) из раздела 5.9. Если запоминать r единовремен-
ных совокупностей измерений (r ≥ n + m + 1) величин X
k+1
, W
k
(т.е. X
k+1
, X
k
, U
k
), то
элементы матрицы
Φ
можно идентифицировать с помощью линейной регрессион-
ной процедуры по методу наименьших квадратов из раздела 5.8 и 5.9. Следова-
тельно, оценка
$
*
Φ
i
i-ой строки матрицы
Φ
(i = 1,...,n) по методу наименьших
квадратов задается соотношением
()
[]
$
() () [ , ]
*
,,,,,
Φ
i
T
k
T
kk
T
ik i ni i mi
aabb=⋅=
−
+
WW W X
1
11 1
KK, (5.104)
где по аналогии с уравнением (5.95)
W
k
kmnk
rk mnrk
knk kmk
rk nrk rk mrk
ww
ww
xxuu
xxuu
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
+
11 1
1
11 1 11 1
11
() ()
() ()
() () () ()
() () () ()
,
,
K
K
K
KK
K
KK
, (5.105)
[
]
X
ik i k i k i r k
T
xx x
, ()()()++++
=
111 1 1
KK
μ
. (5.106)
Здесь x
i(
μ
)k+1
означает
μ
-е измерение i-го состояния x
k+1
(
μ
= 1,2, ..., r), а r - число
измерений W
k
, x
k+1
. Видно, что для идентификации
Φ
необходимо запомнить r ве-
личин x
k+1
и r единовременных совокупностей измерений векторов x
k
, u
k
, принад-
лежащих к предыдущему промежутку интегрирования
Δ
t (обозначенных через
w
k
). Вообще, для идентификации A,B в соответствии с уравнением (5.104) требу-
ется запомнить 2r измерений x и r измерений u.
5.11. Статическая идентификация. Рекуррентные формулы
Рассмотрим систему со многими параметрами, задаваемую уравнением
x
k
= a
1
u
1,k
+ a
2
u
2,k
+ ... + a
m
u
m,k
+ n
k
, (5.107)
где a
i
(i = 1, ..., m) - требующие идентификации неизвестные параметры, x
k
- выход
системы на k-ом измерительном интервале (x
k
= x(t
k
); t
k
= k
Δ
t), u
i,k
- i-й вход систе-
мы на этом же интервале, а n
k
- шум измерения.
Уравнение (5.107) может быть записано в векторной форме
x
k
= a
T
u
k
+ n
k
, (5.108)
где
a
T
= [a
1
, ...., a
m
], (5.109)
u
k
= [u
1,k
, ..., u
m,k
]
T
.
(5.110)
Оценивание вектора параметров a осуществляется таким образом, чтобы оценка
$
a
r
минимизировала критерий J
r
вида
Jqx
rkkr
T
k
k
r
=−
=
∑
(
$
)au
2
1
, (5.111)
где q
k
- произвольный весовой коэффициент, например q
k
= 1. Введение q
k
> 1 в
уравнение (5.111) может служить для увеличения веса последних измерений. 
                             ⎡a11K a1n , b11Kb1m ⎤ ⎡(Φ1 ) T ⎤
                             ⎢                       ⎥ ⎢         ⎥
                         Ф = ⎢K                      ⎥ = ⎢K ⎥ .          (5.102)
                             ⎢⎣a n1K a nn , bn1Kbnm ⎥⎦   ⎢       ⎥
                                                         ⎣(Φn ) ⎦
                                                               T


Следовательно уравнение (5.100) запишется в виде
                                          Xk+1 = Φ ⋅ Wk ,                (5.103)
что аналогично уравнению (5.88) из раздела 5.9. Если запоминать r единовремен-
ных совокупностей измерений (r ≥ n + m + 1) величин Xk+1, Wk (т.е. Xk+1, Xk, Uk), то
элементы матрицы Φ можно идентифицировать с помощью линейной регрессион-
ной процедуры по методу наименьших квадратов из раздела 5.8 и 5.9. Следова-
тельно, оценка Φ$i * i-ой строки матрицы Φ (i = 1,...,n) по методу наименьших
квадратов задается соотношением
               ( ) [
               T
           Φ$ * = (W ) T W
                  i
                              −1
                                k⋅ (W ) T X
                                        k   ]    = [ a K a , b Kb ] ,
                                                     k          i , k +1 (5.104)
                                                                           1,i      n ,i        1,i     m ,i

где по аналогии с уравнением (5.95)
               ⎡ w1(1) k K wm+ n (1) k ⎤ ⎡ x1(1) k K x n (1) k , u1(1) k K um(1) k ⎤
               ⎢                         ⎥ ⎢                                               ⎥
          Wk = ⎢K                        ⎥ = ⎢K                                            ⎥,                  (5.105)
               ⎢w K w                    ⎥ ⎢x K x                                          ⎥
               ⎣ 1( r ) k   m+ n ( r ) k ⎦   ⎣ 1( r ) k n ( r ) k , u1( r ) k K um ( r ) k ⎦


                                                [                                           ]
                                                                                                T
                                    X i ,k +1 = xi (1) k +1K xi ( μ ) k +1K xi ( r ) k +1           .          (5.106)
Здесь xi(μ)k+1 означает μ-е измерение i-го состояния xk+1 (μ = 1,2, ..., r), а r - число
измерений Wk, xk+1. Видно, что для идентификации Φ необходимо запомнить r ве-
личин xk+1 и r единовременных совокупностей измерений векторов xk, uk, принад-
лежащих к предыдущему промежутку интегрирования Δt (обозначенных через
wk). Вообще, для идентификации A,B в соответствии с уравнением (5.104) требу-
ется запомнить 2r измерений x и r измерений u.


              5.11. Статическая идентификация. Рекуррентные формулы

        Рассмотрим систему со многими параметрами, задаваемую уравнением
                             xk = a1u1,k + a2u2,k + ... + amum,k + nk ,     (5.107)
где ai (i = 1, ..., m) - требующие идентификации неизвестные параметры, xk - выход
системы на k-ом измерительном интервале (xk = x(tk); tk = kΔt), ui,k - i-й вход систе-
мы на этом же интервале, а nk - шум измерения.
        Уравнение (5.107) может быть записано в векторной форме
                                       xk = aTuk + nk,                      (5.108)
где
                                        aT = [a1, ...., am ],               (5.109)
                                                           T
                                     uk = [u1,k, ..., um,k] .               (5.110)
Оценивание вектора параметров a осуществляется таким образом, чтобы оценка
a$ r минимизировала критерий Jr вида
                                                          r
                                                J r = ∑ q k ( x k − a$ rT uk ) 2 ,                             (5.111)
                                                         k =1
где qk - произвольный весовой коэффициент, например qk = 1. Введение qk > 1 в
уравнение (5.111) может служить для увеличения веса последних измерений.



                                                                                                                     107

Страницы