ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

109
Следовательно, оценка
$
a
r
может быть рекуррентно получена по предыду-
щей оценке
$
a
r −1
и по измерениям и весовым коэффициентам x
r
, u
r
, q
r
при условии,
что матрица
P
r
также получена последовательно. Далее в соответствии (5.114) по-
лучаем уравнение
Puuuu uu
rkkk
T
rrr
T
rrrr
T
k
r
qqPq
−
−
−
=
−
=+=+
∑
1
1
1
1
1
( ) . (5.123)
Выражение для
P
r
−1
(5.123) требует обратимости матрицы P
r
. Должно быть
также известно начальное значение матрицы
P
0
. Однако для упрощения рекур-
рентного вычисления
P
r
можно воспользоваться леммой об обращении матриц [
16 ]. Если
PPHH
rr rr
T
−
−
−
=+
1
1
1
, (5.124)
то
PP PH HPH HP
rr-1r-1 r-1 r-1
=− +
−
rr
T
rr
T
()1
1
. (5.125)
Чтобы воспользоваться леммой об обращении матриц, преобразуем урав-
нение (5.123) к уравнению вида (5.124). Введем матрицу
H
r
вида
Hu
rrr
q=⋅, (5.126)
так что
HH uu
rr
T
rrr
T
q= . (5.127)
Уравнение (5.123) с учетом (5.127) примет вид
PPHH
rr rr
T
−
−
−
=+
1
1
1
. (5.128)
Уравнение (5.128) совпадает с уравнением (5.124). Следовательно, для вычисле-
ния матрицы
P
r
по рекуррентной формуле используем уравнение (5.125). По-
скольку 1
1
+
−
HP H
r
T
rr
- скаляр, при получении P
r
по рекуррентному соотношению
(5.125) обращения матриц не требуется.
Начальная оценка
P может быть произвольной. Однако для улучшения
сходимости целесообразно использовать
P
0
и
$
a
0
вида [15]
PI
0
1
=
ε
;
$
a
0
=
0 , (5.129)
где ε = 10
-1
÷10
-5
.
5.12. Регрессионная идентификация нелинейных процессов
5.12.1.Представление с помощью неортогональных полиномов
Как статические, так и динамические процессы могут обладать нелиней-
ными характеристиками, которые нельзя игнорировать. Если тип нелинейной
функции неизвестен, то аппроксимация истинной нелинейности может быть вы-
полнена, например, с помощью полиномов. Для описания методов идентификации
нелинейных процессов с помощью регрессии рассмотрим аппроксимацию поли-
номом третьего порядка, имеющего две переменные состояния
x
1
, x
2
и одну управ-
ляющую переменную u:
x axaxaxbx
bx bx cu cu cu
ik ik ik ik ik
ik ik ik ik ik
,,,,,
,,
+
=++++
+++++
111 21
2
31
3
12
22
2
32
3
12
2
3
3
при i =1,2 (5.130)
Отметим, что в соответствии с теоремой Вейерштрасса непрерывные нелинейные 
      Следовательно, оценка a$ r может быть рекуррентно получена по предыду-
щей оценке a$ r −1 и по измерениям и весовым коэффициентам xr, ur, qr при условии,
что матрица Pr также получена последовательно. Далее в соответствии (5.114) по-
лучаем уравнение
                              r −1
                      Pr = ∑ q k ( uk ukT ) + q r ur urT = Pr−−11 + q r ur urT .
                        −1
                                                                                   (5.123)
                              k =1
                                  −1
        Выражение для P (5.123) требует обратимости матрицы Pr. Должно быть
                                r
также известно начальное значение матрицы P0. Однако для упрощения рекур-
рентного вычисления Pr можно воспользоваться леммой об обращении матриц [
16 ]. Если
                                     Pr−1 = Pr−−11 + H r H rT ,                        (5.124)
то
                              Pr = Pr-1 − Pr-1 H r (1 + H rT Pr-1 H r ) −1 H rT Pr-1 . (5.125)
        Чтобы воспользоваться леммой об обращении матриц, преобразуем урав-
нение (5.123) к уравнению вида (5.124). Введем матрицу Hr вида
                                     H r = q r ⋅ ur ,                                  (5.126)
так что
                                     H r H rT = q r ur urT .                           (5.127)
Уравнение (5.123) с учетом (5.127) примет вид
                                     Pr−1 = Pr−−11 + H r H rT .                        (5.128)
Уравнение (5.128) совпадает с уравнением (5.124). Следовательно, для вычисле-
ния матрицы Pr по рекуррентной формуле используем уравнение (5.125). По-
скольку 1 + H rT Pr −1 H r - скаляр, при получении Pr по рекуррентному соотношению
(5.125) обращения матриц не требуется.
        Начальная оценка P может быть произвольной. Однако для улучшения
сходимости целесообразно использовать P0 и a$0 вида [15]
                                            1
                                     P0 = I ;           a$0 = 0 ,                      (5.129)
                                               ε
          -1     -5
где ε = 10 ÷10 .


           5.12. Регрессионная идентификация нелинейных процессов

         5.12.1.Представление с помощью неортогональных полиномов

      Как статические, так и динамические процессы могут обладать нелиней-
ными характеристиками, которые нельзя игнорировать. Если тип нелинейной
функции неизвестен, то аппроксимация истинной нелинейности может быть вы-
полнена, например, с помощью полиномов. Для описания методов идентификации
нелинейных процессов с помощью регрессии рассмотрим аппроксимацию поли-
номом третьего порядка, имеющего две переменные состояния x1, x2 и одну управ-
ляющую переменную u:
          xi ,k +1 = ai1 x1,k + ai 2 x12,k + ai 3 x13,k + bi1 x 2 ,k +
                                                                       при i =1,2 (5.130)
          + bi 2 x 22,k + bi 3 x 23,k + ci1uk + ci 2 uk2 + ci 3 uk3
Отметим, что в соответствии с теоремой Вейерштрасса непрерывные нелинейные


                                                                                         109

Страницы