ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 110 стр.

функции x могут быть аппроксимированы полиномами x, такими, которые сходят-
ся к исходным функциям. Для того, чтобы облегчить применение процедуры рег-
рессионной идентификации к процессу (5.130) введем векторы z и αi:
          z = [ z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9 ]T = [ x1k x12k x13k x 2 k x 22k x 23k u k uk2 u k3 ]T , (5.131)
                      α i = (α i ,1Kα i ,9 ) T = (ai1a i 2 ai 3bi1bi 2 bi 3 ci1ci 2 ci 3 ) T .   (5.132)
С учетом (5.131), (5.132) уравнение (5.130) можно записать в виде
                                           x i , k +1 = z T ⋅ α i ,                              (5.133)
что полностью аналогично уравнениям (5.74) и (5.75) из разд.5.8 и, следовательно,
является формой линейной регрессии. Элементы α полиномиального выражения
третьего порядка, образованного по методу наименьших квадратов и используе-
мого для аппроксимации данного процесса, вычисляются с помощью формул
(5.74)-(5.86). В этих формулах x, u и a заменяются соответственно на xi,k+1, z и αi
из уравнений (5.131)-(5.133).
        Если рассматривается аппроксимация с помощью полиномов более высо-
кого порядка, чем в уравнении (5.130), то применяется тот же подход, что и в
уравнениях (5.130)-(5.133), но с использованием большего числа членов.
        Этот подход, очевидно, применим также к статическим процессам [т.е. ко-
гда индексы k, k+1 в уравнении (5.130) опускаются]. Указанный подход может
быть использован в принципе для большего числа переменных, чем имеется в
(5.130). По аналогии со случаями линейной регрессии (разд.5.8-5.10) потребуем,
чтобы число измерений составляло r ≥ ω+1, где ω соответствует размерности z в
уравнении (5.131), что облегчает определение αi в уравнении (5.133).


            5.12.2.Представление с помощью ортогональных полиномов

       Из множества полиномиальных выражений, используемых для аппрокси-
мации нелинейных процессов, особого внимания заслуживают ортогональные по-
линомы. Эти полиномы обладают рядом свойств, некоторые из которых обсужда-
ются ниже.
1. Благодаря свойству ортогональности, вычисление коэффициентов полиноми-
ального уравнения, аппроксимирующего нелинейный процесс, осуществляется
быстрее, чем для неортогональных полиномов.
2. Коэффициенты полиномиального аппроксимирующего уравнения не зависят от
порядка исходного полиномиального уравнения; следовательно, при отсутствии
априорной информации о порядке полинома, можно проверить несколько поряд-
ков, причем все коэффициенты, полученные при низшем порядке, остаются дейст-
вительными и для высшего. Это свойство наиболее важно при выборе наилучшего
порядка аппроксимирующего полинома.
       Чтобы проиллюстрировать метод идентификации нелинейных процессов с
помощью аппроксимирующих ортогональных полиномов, рассмотрим следующее
аппроксимирующее уравнение относительно y$ и x для одномерной системы:
                   y$ ( x ) = b0 F0 ( x ) + b1 F1 ( x ) +K+bm Fm ( x ) . (5.134)
Здесь x, y$ обозначают входную и оцениваемую выходную переменные нелинейно-
го процесса соответственно. В данном случае Fv(x) обозначает ортогональный по-
лином порядка v (v = 1, ...., m), обладающий свойством ортогональности, т.е.



                                                                                                       110