ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

112
при k = 0,
(5.142)
при k ≠ 0,
так что
$
() ()ybT
kk
k
m
ξξ
=
=
∑
0
. (5.143)
Относительно простые алгоритмы для вычисления b
k
получаются благодаря свой-
ству ортогональности. Видно, что b
k
в уравнении (5.142) не зависит от выбора m.
Следовательно, изменение m не требует пересчета b
j
для j ≤ m, тогда как этот пе-
ресчет при неортогональной аппроксимации необходим, что влечет за собой су-
щественные затраты времени.
Кроме того, при
ξ
π
i
i
n
=
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
cos
()21
2
, i = 0,1, ... , n-1, (5.144)
полиномы Чебышева обладают следующим свойством дискретной ортогонально-
сти для
μ
, v<n :
(5.145)
Видно, что в уравнении (5.145) вес
ω
(
ξ
) из уравнения (5.136) равен едини-
це. Следовательно, величина
ω
(
ξ
) в уравнении (5.141) также равна единице и
можно вычислить коэффициенты b
k
аппроксимационного полинома Чебышева
$
y
для y, минимизирующие S по формуле
Sy bT
jkkj
k
m
j
n
=−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
==
−
∑∑
() ()
ξξ
0
2
0
1
, (5.146)
что дает
b
n
y
j
j
n
0
0
1
1
=
=
−
∑
()
ξ
, (5.147)
b
n
yT
kj
j
n
kj
=
=
−
∑
2
0
1
()()
ξξ
. (5.148)
Таким способом эти коэффициенты вычисляются гораздо проще, чем по
уравнению (5.142), хотя при этом требуется знать y(
ξ
i
) при
ξ
i
, определяемых из
уравнения (5.144).
5.13. Идентификация нелинейных функций априорно известного вида
Во многих случаях, имеется нелинейная аналитическая модель, полученная
на основе теоретических соображений, и требуется провести идентификацию ее
b
yT d
Td
y
d
yT
d
k
k
k
k
==
−
−
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
ωξ ξ ξ ξ
ωξ ξ ξ
π
ξ
ξ
ξ
π
ξξ
ξ
ξ
()() ()
() ()
()
() ()
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
TT
n
n
jvj
j
n
μ
ξξ
()()=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
=
∑
0
0
2
при
μ
≠ v,
при
μ
= v ≠ 0,
при
μ
= v = 0. 
               1                        ⎧ 1 1 y (ξ )
              ∫−1ω (ξ ) y(ξ )Tk (ξ )dξ ⎪⎪π −∫1 1 − ξ 2 dξ
                                                                       при k = 0,
                                                                                         (5.142)
          bk = 1                      =⎨ 1                             при k ≠ 0,
                                          2 y (ξ )T (ξ )
                 ∫−1ω (ξ )Tk (ξ )dξ ⎪⎪π ∫ 1 − kξ 2 dξ
                            2


                                        ⎩ −1

так что
                                                 m
                                      y$ (ξ ) = ∑ bk Tk (ξ ) .                           (5.143)
                                                k =0
Относительно простые алгоритмы для вычисления bk получаются благодаря свой-
ству ортогональности. Видно, что bk в уравнении (5.142) не зависит от выбора m.
Следовательно, изменение m не требует пересчета bj для j ≤ m, тогда как этот пе-
ресчет при неортогональной аппроксимации необходим, что влечет за собой су-
щественные затраты времени.
       Кроме того, при
                                      ⎡ (2i + 1)π ⎤
                        ξi = cos⎢                   , i = 0,1, ... , n-1,       (5.144)
                                      ⎣ 2n ⎥⎦
полиномы Чебышева обладают следующим свойством дискретной ортогонально-
сти для μ, v

Страницы