ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 111 стр.

                                 r

                            ∑ Fμ ( x ) F
                             i =0
                                      i   V   ( xi ) = 0,    ∀μ ≠ v       (5.135)

или в обобщенном виде
                             b

                            ∫ ω ( x) Fμ ( x) F ( x)dx = 0,
                             a
                                               v             ∀μ ≠ v ,     (5.136)

где μ,v - неотрицательные целые числа, а r - число измерений.
       Для идентификации коэффициентов bj, в уравнении (5.134) потребуем, что-
бы r ≥ m+1.
       При аппроксимации с помощью ортогональных полиномов наиболее целе-
сообразно использовать полиномы Чебышева. Полиномы Чебышева записываются
в форме
                  Fv (ξ ) = Tv (ξ ) = cos(v ⋅ arccos(ξ )) , − 1 ≤ ξ ≤ 1 (5.137)
и обладают следующими взвешенными свойствами ортогональности:


                             ⎧0      при μ ≠ v,
         1
            Tμ (ξ ) Tv (ξ ) ⎪⎪ π
         ∫ 1− ξ2 = ⎨2                при μ = v ≠ 0,                     (5.138)
         −1                  ⎪
                             ⎩⎪π     при μ = v = 0,


где 1 − ξ 2 - весовой коэффициент ω(ξ) из уравнения (5.136). Несколько полино-
мов Чебышева низкого порядка приведено ниже:
                  T0 (ξ ) = 1;                              ⎫
                                                            ⎪
                  T1 (ξ ) = ξ ;                             ⎪
                  T2 (ξ ) = 2ξ − 1;
                                 2                          ⎪
                                                            ⎪⎪
                  T3 (ξ ) = 4ξ 3 − 3ξ ;                      ⎬          (5.139)
                                                             ⎪
                  T4 (ξ ) = 8ξ 4 − 8ξ 2 + 1;                 ⎪
                  T5 (ξ ) = 16ξ − 20ξ + 5ξ ;
                                   5       3                 ⎪
                                                             ⎪
                  T6 (ξ ) = 32ξ 6 − 48ξ 4 + 18ξ 2 − 1.⎪⎭
       Независимая переменная [x в уравнении (5.134)] обычно должна быть пре-
образована так, чтобы она удовлетворяла требованиям к области изменения ξ в
уравнении (5.137). При известном Tv(ξ) значение Tv+1(ξ) может быть определено из
соотношения
                            Tv +1 (ξ ) = 2ξTv (ξ ) − Tv −1 (ξ ) ,       (5.140)
что следует из определения Tv(ξ) в уравнении (5.137).
       Аппроксимационный полином Чебышева для y$ , составленный по методу
наименьших квадратов для выходной переменной y, получают на основе миними-
зации S, где
                                   1                                2
                                          ⎡           m
                                                                  ⎤
                            S = ∫ ω (ξ ) ⎢ y (ξ ) − ∑ bi Ti (ξ ) ⎥ dξ , (5.141)
                                   −1     ⎣         i =0          ⎦
что дает



                                                                                  111