ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 108 стр.

Здесь r означает число измерений. Следовательно оценка a$ r должна удовлетво-
рять уравнению
                                       ∂J r
                                             = 0,                   (5.112)
                                       ∂a$ r
так что
                             ⎛ r            T⎞
                                                     r

                             ⎜ ∑ k k k ⎟ r ∑ q k x k uk .
                                    q u  u     a
                                               $ =                  (5.113)
                             ⎝ k =1          ⎠     k =1

Введем обозначение
                                                                               r
                                                              Pr = ∑ q k ( uk ukT ) .
                                                                    −1
                                                                                                               (5.114)
                                                                              k =1

Матрица Pr−1 обратима только при r ≥ m, где m - размерность u, а r - число рас-
сматриваемых измерений. При этом уравнение (5.113) принимает вид
                                                                                        r
                                                              Pr−1a$ r = ∑ q k x k uk ,                        (5.115)
                                                                                    k =1

откуда
                                                                                    r
                                                              a$ r = Pr ∑ q k x k uk .                         (5.116)
                                                                               k =1
      Последнее выражение представляет собой обыкновенную оценку вектора a
с помощью линейной регрессии, которая совпадает с регрессионной оценкой из
раздела (5.8). Отметим, что хотя произведение uk ukT является вырожденным, мат-
рица Pr−1 из (5.114) не вырождена из-за суммирования по k. Уравнение (5.115)
может быть записано в виде
                                                                   r −1
                                                  Pr−1a$ r = ∑ q k x k uk + q r x r ur .                       (5.117)
                                                                   k =1
Поскольку из уравнения (5.113) следует
                       r −1
                                         ⎛ r −1         ⎞
                      ∑k =1
                            q k x k uk = ⎜ ∑ q k uk ukT ⎟ a$ r-1 ,
                                         ⎝ k =1         ⎠
                                                                                                               (5.118)
                                                             r −1
можно подставить выражение для                              ∑q x u
                                                             k =1
                                                                      r   r     r       из уравнения (5.118) в уравнение

(5.117), что дает
                                               ⎛ r −1         ⎞
                                      Pr a r = ⎜ ∑ q k uk ukT ⎟ a$ r-1 + q r x r ur .
                                         $−1
                                                                                                               (5.119)
                                               ⎝ k =1         ⎠
Прибавляя и вычитая [q r ur urT a$ r-1 ] в правой части уравнения (5.119), получаем
               ⎛ r −1           ⎞
    Pr−1a$ r = ⎜ ∑ q k u k u Tk ⎟ a$ r-1 + q r u r ( x r − u rT a$ r-1 ) + q r u r u rT a$ r-1 =
               ⎝ k =1           ⎠
                                                                                                               (5.120)
      ⎛ r              ⎞
    = ⎜ ∑ q k u k u Tk ⎟ a$ r-1 + q r u r ( x r − u rT a$ r-1 ).
      ⎝ k =1           ⎠
С учетом определения Pr−1 по уравнению (5.114) уравнение (5.120) принимает вид
                      Pr−1a$ r = Pr−1a$ r-1 + q r ur ( x r − urT a$ r-1 ) , (5.121)
что дает
                      a$ r = a$ r-1 + Pr q r ur ( x r − urT a$ r-1 ) .      (5.122)



                                                                                                                     108