ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

76
Еще один подход к синтезу многомерных систем регулирования дает теория
модального управления. Эта теория существенным образом основывается на ли-
нейности рассматриваемых моделей; с ее помощью можно устанавливать желаемые
значения собственных чисел замкнутой системы. Разберем основные положения
модального управления на примере стандартной линейной системы в пространстве
состояний
&
х
= Ax + Bu + Гd, (4.78)
y = Cx. (4.79)
Будем предполагать, что в уравнениях (4.78), (4.79) размерности векторов
управления и выхода совпадают и равны размерности пространства состояний, что
A, B, C - постоянные матрицы и что все собственные числа матрицы А действи-
тельны и различны. Эти предположения не являются ограничивающими, они слу-
жат лишь для упрощения последующих выводов. Будем строить управление в виде
пропорциональной обратной связи по выходам
u(t) = -G
c
y = -G
c
Cx. (4.80)
Напомним теперь определение собственных чисел и собственных векторов. ес-
ли Λ
- диагональная матрица собственных чисел квадратной матрицы А:
λ
1
0
⋅
Λ = ⋅ , (4.81)
⋅
0 λn
то справедливы следующие соотношения:
RΛ = AR, (4.82)
ΛL = LA, (4.83)
где
R и L - матрицы нормированных собственных векторов (левых и правых) мат-
рицы
A, т.е. R и L определяются как решение векторных уравнений:
Ar
i
= λ
i
r
i
, i = 1,2,...,n, (4.84)
l
i
T
A = λ
i
l
i
, i = 1,2,...,n, (4.85)
а собственные числа λ
i
являются решениями характеристического уравнения
⎢
A -λ
i
I ⎜ = 0 , i = 1,2,...,n. (4.86)
Все векторы
l
i
и r
i
нормируются так, чтобы они были ортонормальны:
l
i
T
r
j
= δ
ij
, r
i
T
l
j
= δ
ij
, δ
ij
=
1
0
,
,
ij
ij
=
≠
⎧
⎨
⎩
(4.87) 
    Еще один подход к синтезу многомерных систем регулирования дает теория
модального управления. Эта теория существенным образом основывается на ли-
нейности рассматриваемых моделей; с ее помощью можно устанавливать желаемые
значения собственных чисел замкнутой системы. Разберем основные положения
модального управления на примере стандартной линейной системы в пространстве
состояний

                                   х& = Ax + Bu + Гd,              (4.78)
                                          y = Cx.                  (4.79)

    Будем предполагать, что в уравнениях (4.78), (4.79) размерности векторов
управления и выхода совпадают и равны размерности пространства состояний, что
A, B, C - постоянные матрицы и что все собственные числа матрицы А действи-
тельны и различны. Эти предположения не являются ограничивающими, они слу-
жат лишь для упрощения последующих выводов. Будем строить управление в виде
пропорциональной обратной связи по выходам
                          u(t) = -Gcy = -GcCx.               (4.80)

    Напомним теперь определение собственных чисел и собственных векторов. ес-
ли Λ - диагональная матрица собственных чисел квадратной матрицы А:

                         λ1          0
                         ⋅
             Λ =               ⋅            ,                      (4.81)
                                     ⋅
                         0          λn

то справедливы следующие соотношения:

                              RΛ = AR,                             (4.82)

                              ΛL = LA,                             (4.83)

где R и L - матрицы нормированных собственных векторов (левых и правых) мат-
рицы A, т.е. R и L определяются как решение векторных уравнений:

                          Ari = λiri, i = 1,2,...,n,              (4.84)

                         liTA = λili, i = 1,2,...,n,              (4.85)

а собственные числа λi являются решениями характеристического уравнения

                         ⎢ A -λiI ⎜ = 0 , i = 1,2,...,n.          (4.86)

Все векторы li и ri нормируются так, чтобы они были ортонормальны:

                                                  ⎧1,      i= j
        liT rj = δij ,    riT lj = δij,     δij = ⎨               (4.87)
                                                  ⎩0,      i≠ j




                                                                            76

Страницы