ИВС и АСУТП. Гаспер Б.С - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

96
Задача статистической идентификации некорректна вследствие невыполне-
ния условия устойчивости. Покажем причины неустойчивости при нахождении
ИПФ идентифицируемого объекта традиционными способами.
При численном решении во временной области интегральное уравнение
Винера-Хопфа аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ).
Rt c tRt t t
xy i j j xx i j
j
n
() ( ) ( ) ,=−
=
∑
ω
Δ
0
in= 0, (5.25)
где
t
i
= i
Δ
t; t
j
= j
Δ
t;
Δ
t = T
ω
/n - шаг дискретности по времени; c
j
- коэффициент, за-
висящий от выбора квадратурной формулы, аппроксимирующей интеграл.
Решение системы (5.25) дает
n+1 дискретное значение ИПФ объекта. В
матричной форме СЛАУ (5.25) имеет вид
R
xy
= R
xx
⋅
W (5.26)
где
R
xy
матрица-столбец свободных членов, элементы которой - ординаты взаим-
ной корреляционной функции
R
t
Rti n
ixyi
==
1
0
Δ
(), ,; R
xx
- квадратная матрица ко-
эффициентов СЛАУ (5.25), имеющая в случае квадратурной формулы прямо-
угольников симметричную относительно главной диагонали форму:
R
R
Rt
Rt
Rt
xx
xx
xx
xx i
xx n
=
()
()
()
()
0
1
K
K
Rt
R
Rt
Rt
xx
xx
xx i
xx n
()
()
()
()
1
1
1
0
K
K
−
−
K
K
K
K
K
K
Rt
Rt
Rt
Rt
xx j
xx j
xx j i
xx n j
()
()
()
()
−
−
−
1
Rt
Rt
Rt
R
xx n
xx n
xx n i
xx
()
()
()
()
−
−
1
0
K
K
. (5.27)
Матрица-столбец
W=[
ω
i
] состоит из элементов, которые представляют со-
бой ординаты искомой ИПФ.
Особенностью получаемой СЛАУ является составление ее элементов по
результатам предварительной обработки реализации входного и выходного сигна-
лов объекта, при этом неизбежны измерительные и вычислительные погрешности.
При решении СЛАУ существует несколько источников погрешностей. Один из
таких источников характерен для решения практических
задач в случае, когда
элементы матрицы коэффициентов алгебраической системы известны лишь при-
ближенно. Неточность исходных данных порождает ошибки в решении, так как
изменение коэффициентов системы уравнений в пределах заданной точности вле-
чет за собой изменение решения.
Теоретически решение СЛАУ (5.25) определяется формулой
WR R
xx xy
=⋅
−1
,
причем обратная матрица
R
xx
−1
существует лишь при отличном от нуля определите-
ле
R
xx
. Изменение элементов матрицы R
xx
в пределах точности их задания может
привести к матрице с нулевым определителем или даже может изменить его знак.
В результате исходная СЛАУ практически оказывается несовместной. Таким об-
разом приближенное задание корреляционных функций предопределяет плохую
обусловленность обратной матрицы
R
xx
−1
, что приводит к нарушению условия ус-
тойчивости.
К факторам, влияющим на точность задания исходных данных и искажаю-
      Задача статистической идентификации некорректна вследствие невыполне-
ния условия устойчивости. Покажем причины неустойчивости при нахождении
ИПФ идентифицируемого объекта традиционными способами.
      При численном решении во временной области интегральное уравнение
Винера-Хопфа аппроксимируется системой линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ).
                                n
                 Rxy (t i ) = ∑ c j ω (t j ) R xx (t i − t j ) Δt ,   i = 0, n      (5.25)
                               j =0

где ti = iΔt; tj = jΔt; Δt = Tω/n - шаг дискретности по времени; cj - коэффициент, за-
висящий от выбора квадратурной формулы, аппроксимирующей интеграл.
        Решение системы (5.25) дает n+1 дискретное значение ИПФ объекта. В
матричной форме СЛАУ (5.25) имеет вид
                                                 Rxy = Rxx ⋅ W                          (5.26)
где Rxy матрица-столбец свободных членов, элементы которой - ординаты взаим-
                                                   1
ной корреляционной функции Ri =                      R (t ), i = 0, n ; Rxx - квадратная матрица ко-
                                                   Δt xy i
эффициентов СЛАУ (5.25), имеющая в случае квадратурной формулы прямо-
угольников симметричную относительно главной диагонали форму:
                         R xx (0) Rxx (t1 ) K R xx (t j ) Rxx (t n )
                         R xx (t1 ) Rxx (0) K R xx (t j −1 ) Rxx (t n −1 )
                        K            K             K                 K
                  Rxx =                                                           .     (5.27)
                         R xx (t i ) Rxx (t i −1 ) K R xx (t j −i ) Rxx (t n −i )
                        K            K             K                 K
                         R xx (t n ) Rxx (t n −1 ) K R xx (t n − j ) Rxx (0)
        Матрица-столбец W=[ωi] состоит из элементов, которые представляют со-
бой ординаты искомой ИПФ.
        Особенностью получаемой СЛАУ является составление ее элементов по
результатам предварительной обработки реализации входного и выходного сигна-
лов объекта, при этом неизбежны измерительные и вычислительные погрешности.
При решении СЛАУ существует несколько источников погрешностей. Один из
таких источников характерен для решения практических задач в случае, когда
элементы матрицы коэффициентов алгебраической системы известны лишь при-
ближенно. Неточность исходных данных порождает ошибки в решении, так как
изменение коэффициентов системы уравнений в пределах заданной точности вле-
чет за собой изменение решения.
        Теоретически решение СЛАУ (5.25) определяется формулой W = R xx−1 ⋅ R xy ,
причем обратная матрица R xx−1 существует лишь при отличном от нуля определите-
ле Rxx . Изменение элементов матрицы Rxx в пределах точности их задания может
привести к матрице с нулевым определителем или даже может изменить его знак.
В результате исходная СЛАУ практически оказывается несовместной. Таким об-
разом приближенное задание корреляционных функций предопределяет плохую
обусловленность обратной матрицы Rxx−1 , что приводит к нарушению условия ус-
тойчивости.
       К факторам, влияющим на точность задания исходных данных и искажаю-



                                                                                                96

Страницы