Введение в численные методы. Гладких О.Б - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

2) М (
4
5
;
6
5
); 4) М (
2
;
5
3
).
1
А5. Вычислите по формуле трапеций
1
2
0
х
⋅
∫
sin·x dx,
приняв
n = 10 с точностью до 0,001.
1) 0,119; 3) 1,012;
2) 0,225; 4) 1,897.
А6. Зная квадраты чисел 5; 6; 7; 8, найти квадрат
числа 6,25, пользуясь интерполяционной форму-
лой Ньютона.
1) 37,0125; 3) 39,0625;
2) 38,0625, 4) 39,0125.
А7. Дана таблица значений функции
Найдите значения функции
в точке
x = 323,5.
1) 2,44081; 3) 2,48812;
2) 2,50987; 4) 2,31245.
А8. В какой форме можно получить решение
обыкновенного дифференциального уравнения по
методу Пикара?
1) график;
2) таблица;
x
321 322.8 324.2 325
y
2.50651 2.50893 2.51081 2.51188
17
Середина n-го отрезка
x
n
=
2
nn
ba
+
. Очевидно, что
длина отрезка [
a
n
, b
n
] будет равна
n
ab
2
00
−
, а так как
x
*
[a
n
, b
n
], то ∈
|
x
n
– x
*
| ≤
2
nn
ab
−
≤
1
00
2
+
−
n
ab
. (2.3)
Погрешность метода. Оценка (2.3) характеризует
погрешность метода деления отрезка пополам и
указывает на скорость сходимости: метод сходится
со скоростью геометрической прогрессии, знаме-
натель которой
q = 1/2. Заметим, что оценка (2.3)
является априорной.
Критерий окончания. Из соотношения (2.3) следу-
ет, что при заданной точности приближения
ε
вы-
числения заканчиваются, когда будет выполнено
неравенство
b
n
.–.a
n
.<.2
ε
или неравенство
n.>.log
2
((b
0
– a
0
)/
ε
) – 1. Таким образом, количество
итераций можно определить заранее. За прибли-
женное значение корня берется величина
x
n
.
Пример 2.1.
Найдем приближенно x =
2
5
с точностью
ε = 0.01. Эта задача эквивалентна решению урав-
нения
x
5
– 2 = 0, или нахождению нуля функции
f(x) = x
5
– 2. В качестве начального отрезка [a
0
, b
0
]
возьмем отрезок [1, 2]. На концах этого отрезка
функция принимает значения с разными знаками:
128
            5   5                        5   1                                   a n + bn
     2) М ( ;     );              4) М ( ;     ).   Середина n-го отрезка xn =            . Очевидно, что
            4   6                        2   3                                       2
                                                                                          b −a
А5. Вычислите по формуле трапеций                   длина отрезка [an, bn] будет равна 0 n 0 , а так как
                       1                                                                    2
                                                    x*∈ [an, bn], то
                       ∫ х ⋅ sin·x dx,
                          2

                                                                                      bn − a n   b −a
                       0
                                                                       | xn – x*| ≤            ≤ 0 n +1 0 .   (2.3)
приняв n = 10 с точностью до 0,001.                                                      2        2
     1) 0,119;             3) 1,012;                Погрешность метода. Оценка (2.3) характеризует
     2) 0,225;             4) 1,897.                погрешность метода деления отрезка пополам и
А6. Зная квадраты чисел 5; 6; 7; 8, найти квадрат   указывает на скорость сходимости: метод сходится
числа 6,25, пользуясь интерполяционной форму-       со скоростью геометрической прогрессии, знаме-
лой Ньютона.                                        натель которой q = 1/2. Заметим, что оценка (2.3)
     1) 37,0125;          3) 39,0625;               является априорной.
     2) 38,0625,          4) 39,0125.               Критерий окончания. Из соотношения (2.3) следу-
                                                    ет, что при заданной точности приближения ε вы-
А7. Дана таблица значений функции
                                                    числения заканчиваются, когда будет выполнено
      x     321    322.8  324.2      325            неравенство       bn.–.an.<.2ε    или    неравенство
      y 2.50651 2.50893 2.51081 2.51188             n.>.log2((b0 – a0)/ε) – 1. Таким образом, количество
Найдите значения функции                            итераций можно определить заранее. За прибли-
в точке x = 323,5.                                  женное значение корня берется величина xn.
      1) 2,44081;        3) 2,48812;                                        Пример 2.1.
      2) 2,50987;        4) 2,31245.
                                                           Найдем приближенно x = 5 2 с точностью
А8. В какой форме можно получить решение            ε = 0.01. Эта задача эквивалентна решению урав-
обыкновенного дифференциального уравнения по        нения x5 – 2 = 0, или нахождению нуля функции
методу Пикара?                                      f(x) = x5 – 2. В качестве начального отрезка [a0, b0]
     1) график;                                     возьмем отрезок [1, 2]. На концах этого отрезка
     2) таблица;                                    функция принимает значения с разными знаками:

                            128                                                       17

Страницы