Введение в численные методы. Гладких О.Б - 19 стр.

ном условии у(2) = 4, найденное методом Эйлера с       x1.=.ϕ.(x0). Подставим теперь x1 в уравнение (2.4) и
шагом h = 0,1 при х = 2,3 равно                        получим новое приближение x2.=.ϕ.(x1) и т. д. Про-
     1) 9,81;               3) 5,91;                   должая этот процесс неограниченно, получим по-
     2) 18,78;              4) 20,45.                  следовательность приближений к корню:
                       Часть 2                                               xn+1 = ϕ.(xn).          (2.5)
Решите задание, полученный ответ запишите на           Формула (2.5) является расчетной формулой ме-
бланке, рядом с номером выполненного задания.          тода простых итераций. Если последовательность
В1. Методом половинного деления (методом проб)         {xn} сходится при n→ ∞ , т. е. существует
уточните с точностью до 0,01 корень уравнения                                       x* = lim xn ,             (2.6)
   4                                                                                        n →∞
 х – х – 1 = 0 на [1;2].
                                                       и функция ϕ(x) непрерывна, то, переходя к преде-
В2. Методом простой итерации найти приближен-          лу в (2.5) и учитывая (2.6), получим:
ное значение корня уравнения                                  x* = lim xn = lim ϕ.(x n -1) = ϕ ( lim xn -1) = ϕ (x*).
 3
х – 10х + 4 = 0 с точностью до 0,01 на [0;1].                         n →∞       n →∞               n →∞

                                                       Таким образом, x = ϕ (x ), следовательно, x* – ко-
                                                                             *          *
В3. Методом Гаусса (с помощью расчетной табли-         рень уравнения (2.4).
цы) решить систему уравнений:                          Сходимость метода. Сходимость метода простых
⎧3 х1 − х2 + 3 х3 = 5,                                 итераций устанавливает следующая теорема.
⎪                                                      Теорема 2.2. Если в интервале, содержащем ко-
⎨ х1 + 2 х2 − х3 = 2,                                  рень x* уравнения (2.4), а также его последова-
⎪3 х + 2 х − 5 х = 0.
⎩ 1        2      3                                    тельные приближения x0, x1, …, xn, …, вычисляе-
В4. Даны точки (0;3), (2;1), (3;5), (4;7). Составить   мые по формуле (2.5), выполнено условие:
уравнение многочлена, принимающего указанные                                   |ϕ'(x)| ≤ q < 1,      (2.7)
                                                           *
значения при заданных значениях аргумента.             то x = lim xn., т. е. итерационный процесс сходится
                                                               n →∞

В5. Записать расчетные формулы метода Рунге-           и справедлива следующая оценка погрешности:
Кутта приближенного решения обыкновенных                                  | xn – x*| ≤ qn| x0 – x*| (2.8)



                         126                                                            19