Введение в численные методы. Гладких О.Б - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

f.(1) < 0, f.(2) > 0. дифференциальных уравнений (решение задачи
Коши). Найдем число n делений отрезка [1, 2], необ-
ходимых для достижения требуемой точности.
Имеем:
Вариант №2
|
x
n
– x
*
| ≤
1
2
2
n +
− 1
=
1
1
n +
≥
2
≤ 10
–2
, n 6.
Часть 1
А1. Отделите корни уравнения графически и ука-
жите их количество
Следовательно, не позднее 6-го деления найдем
5
2
с требуемой точностью,
5
2
≈ 1.1484. Резуль-
таты вычислений представлены в таблице 2.1.
π
Таблица 2.1
n 0 1 2 3 4 5 6
a
n
1.0000 1.0000 1.0000 1.1250 1.1250 1.1406 1.1406
b
n
2.0000 1.5000 1.2500 1.2500 1.1875 1.1875 1.1562
x
n
1.5000 1.2500 1.1250 1.1875 1.1406 1.1562 1.1484
З
н f(a
n
)
– – – – – – –
З
н f(b
n
)
+ + + + + + +
f(x
n
) 5.5938 0.7585 – 0.2959 – 0.0691 0.1812 0.0532 – 0.0078
b
n
– a
n
1.0000 0.5000 0.2500 0.1250 0.0625 0.0312 0.0156
2.4. Метод простых итераций
Пусть уравнение (2.1) можно заменить экви-
валентным ему уравнением
x =
ϕ
(x). (2.4)
Например, уравнение
x
x
sin
127
– 0.5 = 0 можно заме-
нить эквивалентным ему уравнением
x = 0.5sinx.
Выберем каким-либо образом начальное
приближение
x
0
. Вычислим значение функции
ϕ
.(x) при x = x
0
и найдем уточненное значение
2·
cos (x + ) + x – 3x + 2 = 0.
2
6
1) 1; 3) 3;
2) 2; 4) 4.
А2. Отделите корни уравнения аналитически и
укажите их количество
x – 10x + 4 = 0.
3
1) 1; 3) 3;
2) 2; 4) 4.
А3. Вычислите по формуле Симпсона
2
2
1
dx
∫
x
с
точностью до 0,0001, приняв
n =10.
1) 1,5012; 3) 2,1432;
2) 0,4857; 4) 0,5000.
А4. Методом множителей Лагранжа найти экстре-
мум функции
f(x; y) = x⋅y при условии 2x + 3y = 5.
1) М (1; 1); 3) М (
2
1
;
3
5
);
18 
                  f.(1) < 0, f.(2) > 0.                                          дифференциальных уравнений (решение задачи
     Найдем число n делений отрезка [1, 2], необ-                                Коши).
ходимых для достижения требуемой точности.
Имеем:                                                                                                Вариант №2
       | xn – x*| ≤ 2 − 1 = 1 ≤ 10–2, n ≥ 6.                                                        Часть 1
                              2 n +1      2 n +1
                                                                                 А1. Отделите корни уравнения графически и ука-
Следовательно, не позднее 6-го деления найдем                                    жите их количество
5
  2 с требуемой точностью, 5 2 ≈ 1.1484. Резуль-                                                           π        2

таты вычислений представлены в таблице 2.1.                                                   2·cos (x +       ) + x – 3x + 2 = 0.
                                                                                                           6
                                                             Таблица 2.1              1) 1;                             3) 3;
   n          0        1         2           3         4        5         6           2) 2;                             4) 4.
  an       1.0000   1.0000    1.0000      1.1250    1.1250   1.1406    1.1406
  bn       2.0000   1.5000    1.2500      1.2500    1.1875   1.1875    1.1562    А2. Отделите корни уравнения аналитически и
   xn      1.5000   1.2500    1.1250      1.1875    1.1406   1.1562    1.1484
Зн f(an)      –        –         –           –         –        –         –      укажите их количество
Зн f(bn)      +        +         +           +         +        +         +
 f(xn)     5.5938   0.7585   – 0.2959    – 0.0691   0.1812   0.0532   – 0.0078                       x 3 – 10x + 4 = 0.
 bn– an    1.0000   0.5000    0.2500      0.1250    0.0625   0.0312    0.0156
                                                                                      1) 1;                      3) 3;
            2.4. Метод простых итераций                                               2) 2;                      4) 4.
                                                                                                                                           2
      Пусть уравнение (2.1) можно заменить экви-                                                                                              dx
 валентным ему уравнением                                                        А3. Вычислите по формуле Симпсона                         ∫1 x 2 с
                                 x = ϕ (x).                           (2.4)      точностью до 0,0001, приняв n =10.
                                         x                                            1) 1,5012;           3) 2,1432;
Например, уравнение                          – 0.5 = 0 можно заме-                    2) 0,4857;           4) 0,5000.
                                       sin x
нить эквивалентным ему уравнением x = 0.5sinx.                                   А4. Методом множителей Лагранжа найти экстре-
      Выберем каким-либо образом начальное                                       мум функции f(x; y) = x⋅y при условии 2x + 3y = 5.
приближение x0. Вычислим значение функции                                             1) М (1; 1);                      3) М ( ;
                                                                                                                                1   5
                                                                                                                                      );
ϕ.(x) при x = x0 и найдем уточненное значение                                                                                   2   3

                                        18                                                                      127

Страницы