Решение динамических задач теоретической механики с помощью уравнения возможной мощности. Головинский В.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

{} {
j
j
j
jj
qQq
q
T
q
T
dt
d
&&
&
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
−
∂
∂
}
, (4.4)
откуда в случае независимых
{
}
j
q
&
получаются уравнения Лагранжа
второго рода
j
jj
Q
q
T
q
T
dt
d
=
∂
∂
−
∂
∂
&
. (4.5)
Пример 4-1 [4]. Однородный диск радиусом
R
и массой
M
вращает-
ся относительно своей горизонтальной оси О. К диску на нити АВ длиной
l
подвешена материальная точка массой . Составить уравнения движе-
ния.
m
Выбираем за обобщенные координаты углы
ϕ
и
ψ
. Тогда
222
222
B
mvMR
T +=
ϕ
&
.
Но
ψϕ
ψ
vluRvvv
BAAB
r
&
r
&
r
rr
+
=+=
и, следовательно,
(
)
ψϕψϕψϕ
−++= cos2
22222
lRlRv
B
&
&
&
&
,
так как
()
ψ
ψϕ
−=⋅ cosuu
rr
.
Составим следующие производные:
()
ψϕψϕϕ
ϕ
−++=
∂
∂
cos
2
2
2
&
&&
&
lmRmR
MRT
;
() ()()
ψϕψϕψψϕψϕ
ϕ
−−−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∂
∂
sincos
2
2
&
&
&&&
&&
&
lmRlmRRm
MT
dt
d
;
()
ψϕψϕ
ϕ
−−=
∂
∂
sin
&
&
lmR
T
;
()
ψϕϕψ
ψ
−+=
∂
∂
cos
2
&
&
&
lmRlm
T
;
()
ψϕψϕ
ψ
−=
∂
∂
sin
&
&
lmR
T
;
() ()()
ψϕψϕϕψϕϕψ
ψ
−−−−+=
∂
∂
sincos
2
&
&&&&
&&
&
lmRlmRlm
T
dt
d
;
Возможная мощность системы при
{
}
0
≠
ϕ
&
и
{
}
0=
ψ
&
имеет вид
{
}
{
}
ϕ
&
sinmgRN −=
, откуда обобщенная сила
ϕ
sinmgRQ −=
.
Аналогично при
{}
0=
ϕ
&
и
{
}
0
≠
ψ
&
имеем
{
}
{}
ψ
ψ
ψ
&
sinlmgN
−
=
; и
ψ
ψ
sinlmgQ −=
.
Уравнения Лагранжа дают следующие уравнения движения системы
() ()
ϕψϕψψϕψϕ
sinsincos
2
2
mglmlmRm
M
−=−+−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
&&&
&&
;
()
(
)
ψψϕϕψψϕϕ
sinsincos
2
gRlR −=−−+−
&
&&
&&
.

Страницы