Решение динамических задач теоретической механики с помощью уравнения возможной мощности. Головинский В.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1-1. Составить дифференциальные уравнения движения ма-
тематического маятника с упругим стержнем. – нормальная длина
стержня,
c
– жесткость стержня.
0
l
1. Выберем для скорости точки М независимые параметры и соответст-
вующие им базисные векторы, т.е. выразим скорости точки в виде
j
j
uvv
r
r
=
. Имеем (см. рис. 1.1)
lvvululv
l
&
&
r
&
r
&
r
==+=
21
;;
ϕϕ
ϕ
.
2. Выразим ускорение точки:
va
&
r
r
=
,
lll
ululululula
&
r
&
r
&&
&
r
&
r
&
&
r
&&
r
++++=
ϕϕϕ
ϕϕϕ
,
учтем, что ;
l
uu
r
&
&
r
ϕ
ϕ
−=
ϕ
ϕ
uu
l
r
&
&
r
=
, получим
()
(
)
l
ululla
r
&
&&
r
&&&
r
2
2
ϕϕϕ
ϕ
−++=
.
3. Образуем возможную скорость. Это делается механически путем при-
бавления фигурных скобок к выражению скорости:
{} {}
{
}
luulv
l
&
rr
&
r
+=
ϕ
ϕ
.
4. Определим действие на точку силы
()
l
ullcimgF
r
r
r
0
−−=
, (рис. 1.1).
5. Запишем уравнение возможной мощности в виде
{}
{
}
vFvam
r
r
rr
⋅=⋅
,
получим
()
{
}
(
)
{
}
{} ( )
[]
{}
.cossin
2
0
2
lllcmgmgl
llmlllm
&
&
&
&
&&
&
&
&&&
−−+−=
=−++
ϕϕϕ
ϕϕϕϕ
6. Пользуясь независимостью
{
}
j
v
, можно предположить, что
{}
0≠
ϕ
&
, а
{
}
0=l
&
, получим
()
ϕ
−
=ϕ+ϕ sin2 mgllllm
&
&&&
. (1.1.1)
Повторим это рассуждение в случае, если
{
}
0
=
ϕ
&
, а
{
}
0≠l
&
, получим
(
)
()
0
2
cos llcmglm −−=−
ϕϕ
&
&&
. (1.1.2)
Окончательно получим систему уравнений движения математическо-
го маятника с упругим стержнем
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+−−
=++
.0cos
;0sin2
0
2
llcmgmlm
gll
ϕϕ
ϕϕϕ
&
&&
&
&&&
Такова схема решения задач с помощью уравнения возможной мощности.

Страницы