Решение динамических задач теоретической механики с помощью уравнения возможной мощности. Головинский В.Н - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1-2. Невесомый круговой конус с углом
α
2
при вершине
может свободно двигаться вдоль своей вертикальной оси. По поверхности
конуса свободно движется материальная точка М с массой . Конус под-
вешен к пружине с жесткостью . Найти дифференциальные уравнения
движения материальной точки.
m
c
По схеме решения задач, подробно рассмотренной в предыдущей за-
даче, имеем:
1.
kzururv
r
r
&
r
&&&
r
++=
ϕ
ϕα
sin
;
2.
kzururururura
rr
r
&&
&
r
&
r
&&
r
&&
&
r
&
r
&&
r
+++++=
ϕϕϕ
ϕαϕαϕα
sinsinsin
;
ϕ
αϕϕ
uuku
rr
r
&
r
r
&
&
r
sin=×=
; uu
r
&
&
r
ϕ
ϕ
= ;
()
kzururrrura
r
r
&&
r
&
r
&&&&&&
r
&&
r
+++++=
αϕαϕαϕαϕ
ϕ
sinsinsinsin
2
;
3.
{}{} {}
{
}
kzururv
r
r
&
r
&
r
&
r
++=
ϕ
αϕ
sin
, где
{
}
r
&
,
{
}
ϕ
&
и
{
независимы.
}
z
&
Изменим несколько схему решения, воспользовавшись уравнениями
(1.12) и (1.13).
{}
{}
(
)
{
}
[
(){}( ){
]
,cos2sin
cossin
2
22
zzrrrr
rzrrmvamT
&&&
&&&&&&&
&
&&
&&&
rr
&
++++
++−=⋅=
αϕϕϕα
ααϕ
}
здесь использованы следующие зависимости: ;
;
α
cos=⋅
r
uk
r
r
0=⋅=⋅ ukuk
r
r
r
r
ϕ
α
sin−=
⋅
r
uu
;
0
=
⋅
=
⋅
ϕϕ
uuuu
r
r
r
r
r
.
Возможная мощность силы веса и силы упругости пружины
{}{ } {}
{
}
{
}
zczzmgrmgNvF
&&
&
r
r
−−−==⋅
α
cos
.
Окончательно получим уравнения движения материальной точки:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−−=+
−=+−
=+
.cos
;coscossin
;02
22
czmgzmrm
gzrr
rr
&&
&&
&&
&&&
&&&&
α
αααϕ
ϕϕ
Здесь из двух действующих сил учитывается вес материальной точки,
который приложен к этой точке, а другая сила – жесткость пружины – не-
посредственно к этой точке не приложена, и точка приложения последней
имеет совсем другую скорость (не
v
r
, а
k
z
&
).
2. Уравнение возможной мощности для механической системы.
Аналогично выводу для материальной точки, для материальной сис-
темы имеем:
∑∑
==
⋅==
N
i
N
i
iiiii
vvmvmT
11
2
2
1
2
1
rr
;
∑
=
⋅=
N
i
iii
vamT
1
rr
&
; ;
∑
=
⋅=
N
i
ii
vFN
1
r
r

Страницы