Введение в численные методы. Гришанова Л.И - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

36
где Q < 1.
На промежутке TО (t
j+1
, t
j
) асимптотическое разложение y(t) при$
мет вид
12 12
12
12
1
1
!
i
n
i
jj j
i
i
h
yt y t y t
i
34
5
.
В этом выражении есть два регулируемых параметра n и h. Выбо$
ром этих параметров можно добиваться точности порядка h при чис$
ле членов разложения n. Современные средства программирования
позволяют автоматически получать аналитические выражения для
a
i
, в (3.6). Поэтому процедуру численного интегрирования можно по$
строить в соответствии с алгоритмом (3.6), возложив на ЭВМ опреде$
ление производных, расчет коэффициентов a
i
, выбор шага h ´R. Рас$
пространение аналитико$численного алгоритма (3.6), составленно$
го для скалярного управления на систему уравнений, состоит в вы$
числении производных и составлении в аналитическом виде коэффи$
циентов для векторного уравнения
12
2
1
,
,
,**,
2
jj
jj
jj j
j
Yt
Yt
hF F
YYhFYt Y Y
Yt
33
45
67 7 7 7
89
33

11
2
где F/t – вектор, полученный покомпонентным частным диффе$
ренцированием, а F/ Y есть (n
1
´ n
1
) матрица Якоби функции F(Y,
t) системы ( 3.3 ).
Построение численных методов, в которых переход от ў(t) к ў(t
j+1
)
не требовал бы вычисления производных от правых частей в (3.4 ),
основано на идее Рунге. Принцип построения таких формул числен$
ного интегрирования можно усмотреть из геометрических построе$
ний (рис. 3.2, б, в). Продолжая этот процесс и организуя комбина$
ции k
i
(h) для нескольких точек внутри промежутка t
j+1
– t
j
, запишем
общую формулу этой группы численных методов
12
1
1
,
n
ii
jj
i
yy bkh34
5
12 12 12 12
11 22 , 1 1
где , .
ijiii iii
j
kh hft hy kh k h k h
34
56768 68 668
9
1
(3.7)
Из формулы (3.7) при различных значениях a
j
и b
j
получим как
частные случаи известные формулы численного интегрирования Рун$
ге$Кутты разного порядка точности:
первого порядка –
12 12
12
11
1
,,
j
jj j
yykhkhhfyt34 3
– метод Эйлера;

Страницы