Составители:
41
Пример 3.2
Найти решение ОДУ y' = x–y при начальном условии y(0) = 1 на
отрезке 0 £ x £ 1 с шагом h = 0.1, используя пять членов ряда (3.14)
(точное решение y = 2e
–x
+x–1).
Решение. Дифференцируя правую часть заданного ОДУ, получим
y' = x – y; y" = 1– y'; y''' = – y"; y
эv
= – y'''; y
v
= – y
эv
.
Отсюда выражение (3.14) для степенного ряда будет
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2
1
34 5
1
2
11 1.
624120
ii
h
yyhxy xy
hh h
xy xy xy
34 55 554
4555554 55
Можно убедиться, что такое решение совпадает с точным в пяти
знаках.
3.4. Метод Эйлера и его модификации
Если в степенном ряду (3.14) сохранить только член первого по$
рядка, то получим
y
i+1
= y
i
+hy
i
' = y
i
+h·f(x
i
, y
i
), (3.15)
при этом интегральная кривая ОДУ y(x) заменяется ломаной, на$
клон звеньев которой соответствует y
i
' на каждом участке от y
i
до
y
i+1
(рис. 3.3). Такой «простой» метод Эйлера весьма не точен. Из
рис. 3.3 видно, что погрешность d накапливается, на каждом звене
она порядка h
2
. Уменьшение шага h уменьшает погрешность, но не
устраняет ее. Поэтому простой метод Эйлера применяется редко и
обычно для того, чтобы получить первое «грубое» представление о
характере интегральной кривой. Усовершенствованный метод Эйле$
ра$Коши предполагает использование формулы
y
i+1
(0)
= y
i
+h·f(x
i
, y
i
) (3.16)
простого метода Эйлера для «предсказания» значения y
i+1
(0)
(нуле$
вая итерация). Затем производится «уточнение» y
i+1
(1)
, при котором
определяется среднее арифметическое значение y' в начале и конце
интервала шириной в h. Следовательно, «уточняющая» формула име$
ет вид (первая итерация)
12
12
12
1
2
1
1
11
,,.
2
k
iiii
ii
h
yy fxyfxy
34
56 6
78
9
(3.17)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
