Системы автоматического управления с запаздыванием. Громов Ю.Ю - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()
()
()
()
()
()
∫
θ
+=
1
0
00
01
2
1
dttutCutxtxI
TT
D . (3.2.6)
Предположим, что
()
()
tv
1
– оптимальный закон управления при оптимизации функционала
0
I и уравнения связи (3.2.3),
1
θ≥t . В силу того, что мы преобразовали функционал качества
10
III
+
=
(управление
(
)
()
tv
1
не входит в функционал
1
I , а
в уравнениях (3.2.3) на отрезке
[]
1
,0
θ
– это известная функция времени), решение исходной задачи оптимального управле-
ния эквивалентно нахождению оптимального закона управления
(
)
(
)
tu
0
из условий минимума функционала I при уравнени-
ях связи (3.2.3), которое легко преобразовать к виду:
()
()
()
()
()
()
[]
() ()
{
}
1011
,0
,
1
010
minmin θθ+=
θ∈
xWxII
T
t
tutvtu
. (3.2.7)
Действительно, второе слагаемое выражения (3.2.7) представляет собой минимальное значение функционала
0
I , причем
0
W – симметрическая положительно определенная матрица, удовлетворяющая уравнению вида:
0
1
000000
=−++
θΣΣ
WBBW
с
ΑWWΑ
TT
D . (3.2.8)
Решение задач (3.2.3), (3.2.7) известно, поэтому можно сразу написать основные соотношения:
() () ()()()
txtWtqΒ
с
tu
T
101
0
1
θ
+−= ; (3.2.9)
() ()
()
() () ()
0
1
1101010
=+−+
θθ
tvΒtWtqtWΒΒАtq
T
T
&
; (3.2.10)
() () () () ()
0
0101000
=−+++
θθθθθ
tWΒΒtWΑtWtWΑtW
TT
D
&
; (3.2.11)
(
)
01
WW
=
θ
θ
;
(
)
0
1
=
θ
q ,
где
() ()
tWtW
T
θθ
= – матричная функция, удовлетворяющая уравнению Риккати (3.2.11), а функция
()
tq определяется из решения
уравнения (3.2.10).
Если
()
t,
ζ
Ψ – фундаментальная матрица системы (3.2.10), для чего необходимо, чтобы она была решением уравнения:
()
()
(
)
()
ttWΒΒΑ
d
t
td
T
T
,
,
01010
ζΨ+−=
ζ
Ψ
θ
;
)
Ett
=
Ψ
,
,
то решение (3.2.10) можно представить в виде:
() ( ) ( )
()
()
∫
θ
θ
ζζζζΨ=
1
0
1
1
, dvΒWttq . (3.2.12)
Покажем, что оптимальное управление
()
tu
0
является линейным функционалом, определенном на непрерывных кри-
вых
()
()
σ+tu
0
, 0
1
≤σ≤θ− . Для этого заменим выражение для оптимального значения
()
0
0
u в начальный момент времени
0
0
=t .
Из выражения (3.2.12) следует:
() ( ) ()
()
()
∫
θ
θ
ζζζζΨ=
1
0
1
11
0,0 dvΒWq
() ()()
()
() () ()
+ζζζζΨ−=
∫
θ
θθ
1
0
1
1101
0
000,
1
0 xWdvΒWΒ
c
u
T
, (3.2.13)
с учетом соотношения (3.2.2):
()
() ()()
()
( ) () ()
+ζθ−ζζζΨ−=
∫
θ
θθ
1
0
1
1
1101
0
000,
1
0 xWduΒWΒ
c
u
T
. (3.2.14)
Для произвольного момента времени t соответственно получим:
()
() ()()
()
()()()
+ζθ−ζ+ζζΨ−=
∫
θ
θθ
1
0
1
1
1101
0
00,
1
0 txWdtuΒWΒ
с
u
T
, (3.2.15)
или
()
() () ( ) ( )
()
()
σσ+θ+σθ+σΨ+−=
∫
θ−
θθ
0
1
111101
0
1
0,
1
0 dtuΒWtxWΒ
с
u
T
. (3.2.16)
Используя выражение (3.2.9) для нахождения
(
)
(
)
tu
1
, подставив
(
)
(
)
tu
0
из (3.2.9) в исходное уравнение (3.2.3), получим:

Страницы