Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

соотношение
]),([]),([
***
min
ttJtJJJ uau ≤== (9)
для
rm
AU ∈∈∀ au ,
, являющихся допустимыми и осуществляющих заданный переход с выполнением условия (8). Анало-
гичное определение имеет место для абсолютного максимума (с заменой знака неравенства ≤ знаком ≥).
Из определения абсолютного минимума (9) следует, что абсолютное минимальное значение функционала
],[
***
auJJ = является единственным, чего нельзя утверждать, вообще говоря об оптимальном управлении u
*
(t) и опти-
мальном параметре a
*
.
3.1. Основная задача оптимального координатного управления
Основная задача оптимального координатного управления известна в теории оптимальных процессов как проблема
синтеза оптимального закона управления, а в некоторых задачах – как задача об оптимальном законе поведения.
Задача синтеза оптимального закона управления для системы (1) с критерием (4) и краевыми условиями (6) и (7), где
для упрощения предполагается, что функции f
0
, f, h, g, Φ от вектора а не зависят, формулируется следующим образом.
Среди всех допустимых законов управления v(x, t) найти такой, что для любых начальных условий (t
0
, x
0
) из (6) при
подстановке этого закона в (1) и в (4) осуществляется заданный переход (7) и критерий качества J[u] принимает наименьшее
(наибольшее) решение.
3.2. Оптимальные траектории
Траектория системы (1), соответствующая оптимальному управлению u
*
(t) или оптимальному закону v
*
(x, t), называет-
ся оптимальной траекторией. Совокупность оптимальных траекторий x
*
(t) и оптимального управления u
*
(t) образует опти-
мальный управляемый процесс {x
*
(t), u
*
(t)}.
Установлено, что при отсутствии вектора а управляющих параметров в f
0
, f, h, g, Φ задача программного и координат-
ного управления эквивалентны.
Так как закон оптимального управления v
*
(x, t) имеет форму закона управления с обратной связью, то он остается оп-
тимальным для любых значений начальных условий (x
0
, t
0
) и любых координат x.
В отличие от закона v
*
(x, t) программное оптимальное управление u
*
(t) является оптимальным лишь для тех начальных
условий, для которых оно было вычислено. При изменении начальных условий будет меняться и функция u
*
(t). В этом со-
стоит важное, с точки зрения практической реализации системы управления, отличие закона оптимального управления v
*
(x,
t) от программного оптимального управления u
*
(t), поскольку выбор начальных условий на практике никогда не может быть
сделан абсолютно точно.
3.3. Свойства оптимальных управлений
и оптимальных траекторий
1. Всякая часть оптимальной траектории (оптимального управления) также, в свою очередь, является оптимальной
траекторией (оптимальным управлением). Это свойство математически формулируется следующим образом.
Пусть u
*
(t), t
0
≤ t ≤ t
1
– оптимальное управление для выбранного функционала J[u], соответствующее переходу из со-
стояния
),(
00
xt
в состояние ),(
11
xt по оптимальной траектории x
*
(t). Числа
10
, tt и вектор
0
x – фиксированные, а вектор
1
x , вообще говоря, свободен. На оптимальной траектории x
*
(t) выбираются точки )(
0
*
τx и )(
1
*
τx , соответствующие мо-
ментам времени
10
, τ=τ= tt , где
1100
tt ≤τ≤τ≤ . Тогда управление u*(t) на отрезке ],[
10
τ
τ
является оптимальным, соответ-
ствующим переходу из состояния
)(
0
*
τx в состояние )(
1
*
τx , а дуга )](),([
1
*
0
*
ττ xx является оптимальной траекторией S.
Таким образом, если начальное состояние системы есть
)(
0
*
τx и начальный момент времени
0
τ=t , то независимо от
того, каким образом пришла система к этому состоянию, ее оптимальным последующим движением будет дуга траектории
x
*
(t),
10
τ≤≤τ t , являющейся частью оптимальной траектории между точками ),(
00
xt и ),(
11
xt . Это условие является необ-
ходимым и достаточным свойством оптимальности процесса и служит основой динамического программирования.
Примечание. Приведенная краткая формулировка основного свойства оптимальных траекторий не должна толко-
ваться слишком широко. Требование, чтобы начальная и конечная точки траекторий сравнения лежали на оптимальной тра-
ектории в те же моменты времени
10
, τ
τ
, что и точки оптимальной траектории, или чтобы свободный правый конец
1
x
′
тра-
ектории сравнения оканчивался в тот же момент
1
t , что и конец оптимальной траектории, являются существенными. Без их
выполнения это свойство, вообще говоря, не имеет места. Так, если заданы только начальная точка )(
00
txx = и моменты
времени
0
t и
0
τ , а )(
0
τx свободен, то отрезок траектории x
*
(t),
00
τ
≤
≤
tt может и не быть оптимальным. В этом случае оп-
тимальным может быть, вообще говоря, другой отрезок
)(tx
′
(рис. 5).

Страницы