ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
границе; г – траектория, частично расположенная на границе;
д – з – случаи, когда допустимые траектории располагаются вне некоторой области; д – случай двух траекторий, доставляющих относи-
тельный минимум в задаче о кратчайшем пути на плоскости; е – случай невыпуклой запрещенной области, траектории с несколькими уча-
стками входа и схода;
ж – 1–2 – траектория, не имеющая общих точек с границей; 1–3 – траектория,
имеющая одну общую точку (касание) с границей; з – случай негладкой
границы допустимой области; 1 – начальная точка траектории; 2 – конечная
точка траектории; 1' – точка входа на границу; 2' – точка схода с границы
Рассмотрим случай одного скалярного ограничения вида
0),( ≥
φ
xt
i
.
7.3. Первый тип необходимых условий оптимальности
для граничных участков траектории
Для простоты рассматривается случай, когда лишь одно из ограничений типа (72) выполняется в виде равенства (на-
пример, ограничение
1
φ
). Пусть это ограничение
0),(
1
=
φ
xt (77)
таково, что полная производная по времени
),,(
),(
11111
uxf
x
x
x
x
t
ttdt
td
∂
∂φ
+
∂
∂φ
=
∂
∂φ
+
∂
∂φ
=
φ
&
(78)
содержит управление u явно.
Необходимое и достаточное условие того, что (77) имеет место на некотором ненулевом отрезке
],[
21
tt
′
′
, вводится в
уравнение
0),,(),,(
),(
1
111
1
=φ=
∂
∂φ
+
∂
∂φ
=
φ
=φ uxuxf
x
x
tt
tdt
td
&&
(79)
Составляется гамильтониан
1
H для граничных участков
),,(
11
uxtHH φβ+=
&
, (80)
где
∑
=
λ+λ=
n
i
ii
ffH
1
00
;
0=β
на участках, где ;0
1
>φ
0≠β
на участках, где 0
1
=
φ
.
Теперь необходимые условия для граничного участка совпадают с необходимыми условиями п. 8.3 с заменой в услови-
ях (95), (97), (101) функции
ℵ на
1
φ
&
. Отличие этой задачи от задачи п. 8.2 заключается в условиях, накладываемых на пере-
менные в точках выхода траектории на границу и схода с нее. В этих точках сопряженные переменные
)(t
i
λ могут претер-
певать разрывы. Если имеется всего два участка, то сопряженные переменные непрерывны. При этом условие
0),(
1
=
φ
xt
может толковаться либо как связь, наложенная на начальные значения
),(
00
xt , либо как связь, наложенная на конечные
значения
),(
11
xt , в зависимости от порядка следования участков с 0
1
>
φ
и 0
1
=
φ
.
При трех участках, если сначала идет граничный участок, затем участок с
0
1
>
φ
и далее снова граничный участок,
множители тоже непрерывны вдоль всей траектории. При всех других порядках следования участков, если последних боль-
ше трех, сопряженные переменные имеют разрыв типа скачка. Этот скачок в значениях
)(t
i
λ
можно осуществить на любом
конце граничного участка, при этом на другом конце множители уже могут быть выбраны непрерывными (выбор конца, на
котором происходит скачок, не имеет значения). Если этот конец выбран в момент времени
2
t
′
, то условия скачка имеют вид
x
λλ
∂
φ∂
−=
−+
)(
)()(
2
1
22
t
Ctt
; (81)
t
t
CtHtH
∂
′
∂φ
+
′
=
′
−+
)(
)()(
21
2
1
2
; (82)
0)(
21
=
′
φ
−
t
, (83)
где С – произвольная постоянная; индексы «+» и «–» обозначают пределы справа и слева, соответственно.
Если условия (81) подставить в (82), то коэффициент при С будет
1
φ
&
и, таким образом, условие (82) не зависит от С, а
содержит только значения
)(
2
t
′
λ
−
. После указанной подстановки уравнение (82) может быть использовано в качестве экви-
валентного необходимого условия.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
