Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В данной задаче решение
)(),( tt λx не зависит от
0i
λ
, С как от параметров
),,();,,(
00
CtCt
ii
λ
=
λ
= λλxx .
В каждой точке разрыва непрерывности сопряженных переменных должна добавляться новая константа С. Величина С
не может быть определена заранее из необходимых условий и является дополнительным параметром, определяющим точку
схода. Поскольку число граничных участков заранее неизвестно, задача становится проблемой с переменным числом пара-
метров, что существенно усложняет ее практическое решение даже с помощью ЭВМ.
Пример 3. Пусть имеются три участка оптимальной траектории, следующие в таком порядке:
1 участок – траектория в открытой области,
0
1
>φ ;
2 участок – граничная траектория,
0
1
=φ ;
3 участок – снова траектория в открытой области,
0
1
>
φ
.
Необходимые условия в конечной точке дают (n + 1) уравнение относительно (n + 2) неизвестных
Ct
i
,,
10
λ . Условия
(82), (83) и
0)0(
2
=
+
′
β
t (84)
определяют точку
2
t
′
и дают дополнительное уравнение относительно неизвестных Ct
i
,,
10
λ
. Задача, таким образом, све-
лась к нахождению решения (n + 2) уравнений с (n + 2) неизвестными.
Если участков больше, чем три, задача сводится к многоточечной краевой проблеме.
7.4. Второй тип необходимых условий для оптимальности
управления на граничных участках
Пусть
вх
t – момент входа траектории на границу допустимой области,
сх
t – момент схода с этой границы. Гамильтони-
ан
2
H для граничных участков может быть представлен в следующем виде:
1211
1
1211002
φβ+φβ+=φβ+φβ+λ+λ=
∑
=
&&
HffH
n
i
ii
,
где ,0
21
=β=β если 0
1
>φ ; 0,0
21
≠
β
≠β , если 0
1
=
φ , а
1
φ
&
определяется правой частью соотношения (78).
На граничном участке (т.е. при
схвх
ttt ≤≤ ) вдоль оптимальной траектории выполняются условия
0,0,,
11
22
=φ=φ
∂
∂
−=
∂
∂
=
&&
&
Tt
HH
x
λ
λ
x
. (85)
Оптимальное управление на граничном участке определяется из условия минимума H по ),(
1
xu tU
m
∈ , где ),(
1
xtU
m
– та
часть значений
u из области
m
U , которая удовлетворяет условию 0),,(
1
=
φ
uxt .
Если минимум H по
u в области ),(
1
xtU
m
достигается в ее внутренней точке, то
0),,(,0),(,0)),,((
112
2
=φ=φ=φ
∂
∂
β+
∂
∂
=
∂
∂
uxxux
uuu
ttt
H
H
&&
.
Значения вектора
λ
и гамильтониана
2
H непрерывны в точке входа на границу допустимой области:
)0()0();0()0(
вх2вх2вхвх
−
=
+
−
=+ tHtHtt λλ .
Остальные недостающие граничные условия могут быть найдены из общих условий трансверсальности (см. п. 4.3). В
частности, из этих условий следует, что при
1
tt =
))(,())(,(;)(
11111
1
ttttL
L
t
T
tt
T
xqµx
x
λ +Φ=
∂
∂
=
=
;
0)(
12
1
=+
∂
∂
tH
t
L
(если
1
t – не задано).
Кроме того, к этим условиям надо добавить заданное граничное условие (76):
0))(,(
11
=
tt xq .
Контрольные вопросы
1. Необходимые условия оптимальности.

Страницы