Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2. Первый тип необходимых условий оптимальности для граничных участков траектории.
3. Второй тип необходимых условий для оптимальности управления на граничных участках.
Глава 8
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
УПРАВЛЕНИЯ В ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
ТИПА НЕРАВЕНСТВ, СОДЕРЖАЩИМИ ОДНОВРЕМЕННО
ФАЗОВЫЕ КООРДИНАТЫ
x И УПРАВЛЕНИЕ u
При рассмотрении технических систем часто встречаются задачи, в которых допустимые значения управляющих функ-
ций не должны превосходить пределов, зависящих от текущего состояния системы.
Ограничения рассматриваемого типа можно записать в виде
0),,( ≤uxt
ℵ
, (86)
где ℵ явным образом зависит от состояния x и управления u. Принцип максимума, сформулированный в п. 4.3, справедлив
лишь для неравенств типа
0),( ≤ut
i
ℵ
, (87)
т.е. не содержащих фазовых координат x явно.
Ниже приводится формулировка принципа максимума, пригодная для ограничений типа (86).
8.1. Краткая формулировка задачи
Пусть эволюция системы S описывается векторным дифференциальным уравнением
),( ux,f
x
t
dt
d
=
, (88)
где
T
n
xxx )...,,,(
21
=x – n-мерный вектор состояния;
T
m
uuu )...,,,(
21
=u – m-мерный вектор управления.
На значения управляющего вектора
u наложены ограничения
0),,( ≥uxt
ℵ
, (89)
где
T
v
)...,,,(
1
21
ℵℵℵ=ℵ –
1
v -мерный вектор, причем число связей, одновременно удовлетворяющихся в виде равенств, не
превосходит m.
Область
m
U допустимых значений u зависит от t, x:
),( xtUU
mm
=
и задается уравнением (89). Предполагается, что
вектор
u явно входит в уравнение (89).
В начальный момент времени
0
tt = задано состояние системы
00
)( xx
=
t . (90)
Необходимо перевести систему S из состояния
0
x в некоторое конечное состояние, определяемое соотношениями
0))(,(
11
=tt xq , (91)
где
1),...,,,(
221
2
+≤= nlqqq
l
q
.
Требуется найти такой допустимый кусочно-непрерывный вектор
u(t), удовлетворяющий (89), что функционал
∫
+Φ=
1
0
),,())(,(][
011
t
t
dttfttJ uxxu (92)
принимает минимальное значение на решениях системы (88).
Решения
x(t) системы (88) предполагаются непрерывными и обладающими, по крайней мере, абсолютно непрерывными
производными. Точки
α
t , где одна или более компонент вектора u терпят разрыв первого рода, называются угловыми точ-
ками. Точки
s
t , в которых изменяется знак «>» на «=» (или наоборот) в одном или нескольких ограничениях (89), называют-
ся точками соединения.
8.2. Типы граничных условий
Задача, в которой 0))(,(
11
≡Φ tt x , а граничные условия (97) имеют вид
),1(0)(
211
nlixtx
ii
≤==− (93)
или
)1,1(0)(
211
nlixtx
ii
≤−==− , (94)

Страницы