Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
зад1
=
−
tt ,
где
зад1
, tx
i
– заданные числа, называется иногда простейшей.
При
nl =
2
условия (93) приводят к задаче с закрепленным правым концом и свободным временем. При nl
<
2
условия
(93) приводят к задаче с частично свободным правым концом и свободным временем
1
t . Условия типа (94) относятся к зада-
че с закрепленным временем
зад1
tt =
и частично свободным правым концом траектории.
8.3. Необходимые условия оптимальности
Если ),()(
*
tUt
m
xu ∈ [
m
U определяется условиями (89)] является управлением, минимизирующим функционал J[u], то
найдутся такие постоянные числа
T
l
)...,,(,1
2
10
µµ==λ µ , не все равные нулю, и такие одновременно не обращающиеся в
нуль переменные векторы
T
n
ttt ))(...,),()(
1
λλ=λ (непрерывный на ],[
10
tt ) и
T
v
ttt ))(...,),(()(
1
1
ββ=β (непрерывный на ],[
10
tt
всюду, за исключением, быть может, точек разрыва управления u(t), где, однако, у него существуют единственные право- и
левосторонние пределы), что на
],[
10
tt имеют место соотношения
T
TT
H
H
dt
d
∂
∂
−=
∂
∂
−
∂
∂
−=
x
β
xx
λ
1
ℵ
; (95)
T
T
H
H
dt
d
∂
∂
=
∂
∂
=
λλ
x
1
; (96)
),1(0
1
vj
jj
==ℵβ , (97)
где
0
≤
β . (98)
Для всех фиксированных ),,( λxt и u, удовлетворяющих (89), выполняется принцип максимума (см. п. 4.3)
),,,(),,,(
*
uλxuλx tHtH ≤
, (99)
т.е.
),,,(),,,(min
*
uλxuλx tHtH
m
Uu
=
∈
,
где гамильтониан H определяется, как и в п. 4.2, выражением
fλ
T
fH +λ=
00
, (100)
а
ℵ
T
HH β+=
1
. (101)
Если минимум H достигается во внутренней точке области
m
U , то
β
uuu
T
H
H
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ℵ
1
. (102)
В угловых точках
α
t выполняются следующие условия:
а) сопряженный вектор
)(tλ непрерывен, т.е.
)0()0( −
=
+
αα
tt λλ ; (103)
б) функция H непрерывна, т.е.
))0(),(),(,())0(),(),(,(
**
−=+
αααααααα
ttttHttttH uλxuλx (104)
(условие (99) соблюдается со знаком равенства);
в) уравнения (97) и (102) сохраняются.
Условия a) – в) являются аналогом условий Вейерштрасса–Эрдмана.
В конечной точке
()
11
,xt для любых значений )(,
11
tddt x выполняются условия трансверсальности
0)(
11
11
0
1
1
=
−
∂
∂
+
∂
Φ∂
+
∂
∂
+
∂
Φ∂
++
=
=
tddt
tt
f
T
tt
TT
tt
TT
xλµ
x
q
x
q
µfλ
;
(105)
0))(,(
11
=
tt xq .
Из (105) следует, что

Страницы