ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
λλ=λ
λ=
).,,,(
);,,,(
000
000
iii
iii
tt
ttxx
x
x
(115)
В этом случае
),,,(
000 i
tt λ
=
xuu (116)
и решение задачи оптимизации погружено в (2n + 1) параметрическое семейство решений, причем решение (115) зависит от
параметров
),,,(
000 ii
xtt λ , по крайней мере, непрерывно.
Если же на траектории нет точек разрыва функции
u(t), то решение, по крайней мере, дважды непрерывно дифференци-
руемо по
),,,(
000 ii
xtt λ .
2. Если
),,( uxt
i
ℵ не зависит явно от x, то условия (95), (99) эквивалентны принципу максимума п. 4.3, так как в этом
случае
),( tU
m
x зависит лишь от t: )(tUU
mm
= .
3. Условия для границы области
),( tU
m
x находятся следующим образом. Если при определении минимума H по u
часть компонент вектора
ℵ удовлетворяются в виде равенств, то недостающие множители
j
β
могут быть найдены из усло-
вий (102). Если минимум H по
u достигается во внутренней точке области
m
U , то управление
j
u и множители
j
β
нахо-
дятся из условий (102) и тех из (89), которые выполняются в виде равенств
.0),,(
;0
~
=
=
∂
∂
+
∂
∂
ux
β
uu
t
H
T
ℵ
ℵ
(117)
Из (117) находятся u и β
~
. При этом ),(
~
~
),,( λxββλxuu == непрерывны в точке соединения, если только в ней нет раз-
рыва в функции
u(t).
Контрольные вопросы
1. Типы граничных условий.
2.
Необходимые условия оптимальности.
3.
Аналог необходимого условия Клебша.
Глава 9
ЭЛЕМЕНТЫ КЛАССИЧЕСКОГО ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Задачи, в которых уравнения движения не приведены к форме Коши (т.е. не записаны в виде дифференциальных урав-
нений первого порядка, разрешенных относительно производных)
*
, а управляющие функции u(t) явно не введены (и по ка-
ким-либо причинам такое приведение невозможно или нежелательно), можно решать методами классического вариационно-
го исчисления.
Отметим, что с точки зрения вычислений всегда желательно привести систему уравнений к форме Коши, так как имен-
но для такой системы разработаны эффективные алгоритмы численного интегрирования.
9.1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа
Задача Больца. Одна из наиболее общих формулировок для задач с однократными интегралами и дополнительными
условиями заключается в следующем.
Пусть класс траекторий определяется:
1)
кривыми x(t) c координатами
10
),,1()( tttnitx
i
≤≤= ;
2)
параметрами
),1( rja
j
=
.
Параметры
j
a
можно рассматривать как некоторые постоянные координаты кривой С:
Y
tt )),(()( axz = в (n + r)-мерном
пространстве,
T
rn
aaxxxz )...,,,...,,,(
121
= .
Пусть кривые (
x(t), a) удовлетворяют уравнениям движения (или уравнениям связей, вообще говоря, неинтегрируемым)
вида
),1(0),,,( nmjtF
j
<=== axx
&
(118)
и условиям
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
