Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

),1(0),,,()),(,),(,(
1
0
1100
ρ==+Φ=
∫
kdttfttttI
t
t
kkk
axxaxx
&
, (119)
где
T
n
xx
dt
d
)...,,(
1
&&&
==
x
x
.
Необходимо найти кривую из указанного класса траекторий, которая минимизирует функционал
∫
+Φ=
1
0
),,,(),,,,(
1100
t
t
dttfttJ axxaxx
&
. (120)
Задача Майера. Эта задача формально получается из задачи Больца при ),1(0,0 ρ=≡≡ kff
k
. В этом случае краевые
условия (119) становятся общими граничными условиями, число которых должно быть
22 ++
=
ρ
rn . Если фиксирован век-
тор параметров
а, то число степеней свободы σ системы дифференциальных уравнений (118), равное разности между чис-
лом зависимых переменных и числом независимых дифференциальных уравнений, для задачи Майера равно:
mn
−
=
σ
.
Задача Лагранжа. Эта задача вытекает из задачи Больца при ρ=≡≡Φ ,1,0,0 kf
k
.
Виды связей и граничных условий. Связи вида (119) при
)(a
kk
Φ
=
Φ
, т.е. при
∫
Φ−=
t
t
t
kk
dttf
0
)(),,,( aaxx
&
, где все или
часть компонент вектора
а фиксирована, называются изопериметрическими. Если 0
≡
k
f , то связи типа (119) задают под-
вижные граничные условия. Если связи типа (119) имеют вид
,,0
);,1(0)(
);,1(0)(
1012200012
211
100
222
111
tttt
nkxtx
nkxtx
nn
kkk
kkk
−≡Φ=−≡Φ
==−≡Φ
==−≡Φ
++
где
100
...,,
1
tx
k
– заданные числа, то граничные условия называются закрепленными.
Если
0;0;,1;,1
101000
1
21
=−=−<== ttttnnknk
, то
1
n концов закреплено, а остальные условия называются свобод-
ными граничными условиями.
Если граничные условия
0),,,(
1010
=Φ xxtt
k
при
),1,0( ρ== kf
k
можно разбить на две группы
0),(
00
1
=
Φ
xt
k
;
0),(
11
2
=Φ xt
k
; nkk <ρρ+ρ=ρ=
11211
,...,,1,,1 и если ),(),(
0011
xx thtq
−
≡
Φ
, то задача называется задачей с разделенными
условиями для концов.
Общие условия (119) называются смешанными граничными условиями.
9.2. Первое необходимое условие экстремума функционала
в задаче Больца
Первое необходимое условие экстремума состоит из:
•
правила множителей Лагранжа;
•
уравнений Эйлера–Лагранжа;
•
условий Эрдмана–Вейерштрасса;
•
условий трансверсальности.
Пусть минимизирующая кривая С: {
x = x(t), a} допускает в любой точке слабые (малые как по x(t), так и по )(tx
&
) ва-
риации
)(
~
)()(),(
~
)()( tttttt xxxxxx
&
&&
−=δ−=δ по любым совместимым со связями (118) направлениям в пространстве
nn
XX ∈x, и функции
kk
ff
Φ
Φ,,, обладают непрерывными производными до третьего порядка. Тогда необходимые ус-
ловия экстремума формулируются следующим образом.
Правило множителей Лагранжа: существуют функции µ
0
, µ
k
, )(t
j
λ
и функции
∑∑
ρ
==
++=
11
0
),,,()(
k
m
j
jjkk
tFtffF axxλµµ
&
; (121)
∑
ρ
=
Φ+Φ=
1
110011000
)),(,),(,()),(,),(,(
k
kk
ttttttttL axxµaxxµ (122)
такие, что множители
k
µµ ,0
0
≥ – постоянные и решение исходной задачи на условный экстремум лежит среди решений

Страницы