Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. Если
)(),(
1100
aa tttt == , то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1
0
0
)(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1
1
1
)(a
. В силу независимости величин
1010
,,,
ii
dxdxdtdt условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
),1(0,...,0
11
1
1
1
nidx
x
L
Fdt
t
L
FxF
i
tt
i
x
tt
n
i
xi
ii
==
∂
∂
+=
∂
∂
+−
=
=
=
∑
&&
&
; (131)
),1(0...,,
00
1
0
0
nidx
x
L
Fdt
t
L
FxF
i
tt
i
x
tt
n
i
xi
ii
==
∂
∂
+
∂
∂
+−
=
=
=
∑
&&
&
; (132)
),1(0
1
0
nidadt
a
F
a
L
j
t
t
jj
==
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133)
число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
),1(),,1()(),,1()(),,1(,
0
rjanitxmjtk
jijk
===ρ= λµµ .
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f ≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно-
жителей
),1()(),,0( mjtk
jk
=ρ= λµ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а
для всякого элемента
),,,,( λµxx
&
t (в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса ),,,,( XλxxE
&
&
t :
∑
=
−−−=
n
i
xii
tFxXtFtFt
i
1
),,,()(),,,(),,,(),,,,( λxxλxxλXxXλxxE
&&
&
&
&&
&
&
(134)
удовлетворяет неравенству
0),,,,( ≥XλxxЕ
&
&
t . (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах ),,,( λXx
&
t , не совпадающих с элементами
),,,( λxx
&
t кривой С, но удовлетворяющих условиям
),1(0),,,( mjtF
j
==axx
&
.
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей ),1,,1()(λ,µ,1µ
0
ρ=== kmjt
jk
–
единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая
f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей µ
0
, µ
k
),1( ρ=k , ),1()(λ mjt
j
= , что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента ),,,,( λµxx
&
t
выполняется неравенство
0ξξ),,,(
11
≥
∑∑
==
n
i
n
k
kixx
tF
ki
λxx
&
&&
(136)
при любых )0...,,0,0()...,,,(
21
≠ξξξ=
n
ξ , удовлетворяющих уравнениям
),1(0),,(
1
mjtF
i
n
i
xj
j
==
∑
=
ξxx
&
&
, (137)
где
ki
xx
i
j
jx
xx
F
F
x
F
F
kii
&&&
&&
∂∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
.
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица

Страницы