Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

=
α
γ
0)(
0
T
x
xxx
F
FF
F
FF
k
iki
x
xxx
&
&&&
&
&&&
(138)
),1,(;
),...,,(
),...,,(
),,1,(
2
21
21
m
xx
F
F
xxx
FFF
Fnki
kin
m
=γα
∂∂
∂
=
∂
∂
==
&&&&&
&&&
xxx
.
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде-
лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей
кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера. Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке ],[
10
tt минимум функционалу в
задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
],[
10
tt не содержал точек, сопряженных с
0
t .
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {
x(t)} имеет на интервале ),(
10
tt точку t
~
,
10
~
ttt << , сопряженную
с
0
t , если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки ))(,(
00
tt x и бесконечно
близких к данной экстремали
x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова-
тельность точек пересечения имеют точку
t
~
своим пределом. Сопряженная точка ))
~
(,
~
( tt x является точкой касания экстре-
мали
x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может
вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
~
(,
~
( tt x расстояние между данной экстремалью x(t) и про-
извольной близкой экстремалью
)(
~
tx , выходящей из той же начальной точки ))(,(
00
tt x , есть величина выше первого поряд-
ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
~
(,
~
( tt x (т.е. при ttt
~
0
<≤ ).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре-
делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,),,1(0),,(
10
tttmjtF
j
≤≤==xx
&
(139)
где
10
, tt – заданные числа,
))(...,),((
ˆ
)(
ˆ
,)(
11111100
txtxtt
n−
=
=
=
xxxx , (140)
где
10
ˆ
,
xx – заданные векторы,
и с функционалом
)(),,,(
11010
txttJ
n
=
Φ
=
xx (141)
сопряженная точка t
~
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
),(),(
),(),(
),...,,(
),...,,(
),
~
(
~
0,1
01
10
01
0,1
01
10
01
~
0,12010
121
0
=
∂λ
λ∂
∂λ
λ∂
∂λ
λ∂
∂λ
λ∂
=
λλλ∂
∂
=λ
=
−
−−
−
=
−
−
tt
n
nn
n
tt
n
n
txtx
txtx
xxx
tD
L
LLL
L
,
(142)
T
n
)...,,,(
0,120100 −
λλλ=λ ; (143)
где )),(...,),,((),(
01010
λλλx txtxx
n−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λλ
=
заданным условиям (140).
Замечание. При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од-
новременно с основной экстремалью
x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей )(
1
t
n−
x , лежащих в близкой окре-
стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
),(
00
xt по линейно-независимым направлениям (соответст-
вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ ). В этом случае можно утверждать, что
точка
t
~
будет сопряженной с точкой
0
t в сформулированной выше задаче, если в точке
t
~
определитель

Страницы