ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
задачи на безусловный экстремум для вспомогательного функционала
∫
+=
1
0
t
t
FdtLJ .
Всегда можно считать
1
0
=µ , за исключением особых (анормальных) случаев.
Уравнения Эйлера–Лагранжа. Между угловыми точками (см. 126) минимизирующей кривой: C: {x = x(t), a} выполня-
ются уравнения Эйлера–Лагранжа:
t
n
i
xi
FFxF
dt
d
i
=
−
∑
=1
&
&
; (123)
),1(0 niF
dt
d
F
ii
xx
==−
&
, (124)
где
t
F
F
x
F
F
x
F
F
t
i
x
i
x
ii
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
= ;;
&
&
.
Замечание. Уравнение (123) является следствием остальных (при условии, что все )(tx
i
обладают вторыми произ-
водными) и для функций F, не содержащих явно t, приводит к первому интегралу.
CFxF
n
i
xi
i
=−
∑
=1
&
&
(125)
в силу (127), (128), непрерывному при переходе через угловую точку.
Решения
x(t) уравнения Эйлера–Лагранжа называются экстремалями независимо от того, являются ли они минимизи-
рующими, максимизирующими или седловыми кривыми для функционала J со связями (118), (119).
Условия Эрдмана–Вейерштрасса. Величины
∑
=
−
n
i
xi
i
FxF
1
&
&
и ),1( niF
i
x
=
&
непрерывны вдоль кривой С: {x = x(t), a}. В
частности, если при
tt
′
=
кривая С имеет угловую точку, т.е. хотя бы по одной компоненте
)(tx
i
имеет место разрыв (перво-
го рода) в производной:
+
+
′
=−
′
=
=≠=
i
tt
i
tt
i
i
x
dt
tdx
dt
tdx
x
&&
00
)()(
, (126)
то справедливы соотношения
),1( niF
x
F
x
F
F
i
ii
i
i
i
x
xx
i
xx
i
x
==
∂
∂
=
∂
∂
=
+
==
+
&
&&&&
&
&&
(127)
и
.
1111
∑∑∑∑
=
+++
=
=
=
==
−=
−=
−=−
+−
n
i
xi
xx
n
i
xi
xx
n
i
xi
n
i
xi
i
ii
i
ii
ii
FxFFxFFxFFxF
&
&&
&
&&
&&
&&&&
(128)
Здесь
.),...,(;),...,,(
;),,,(;),,,(
2121
T
n
T
n
xxxxxx
tFFtFF
−−−−++++
=
+
=
−
===
==
+−
&&&&&&&&
&&
&&&&
xx
axxaxx
xxxx
Условие трансверсальности. Концевые точки 0 и 1 кривой С: {x = x(t), a} таковы, что равенство
∑
∫
∑∑
===
=++
+
−
r
j
t
t
ja
n
i
ix
n
i
xi
dtdaFdLdxFdtFxF
jii
1
1
0
11
1
0
0
&&
&
(129)
выполняется тождественно для
jiiii
datdxdxtdxdxdtdt ),(),(,,
110010
=
=
(т.е. для всех произвольных и независимых значений
указанных вариаций концов траекторий и вариаций параметров). Здесь dL – полный дифференциал функции
),),(),(,,(
1010 k
ttttL µaxx :
∑∑∑
===
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
11
1
1
1
1
1
0
0
0
0
. (130)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
