ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Составить функцию Лагранжа:
.)],,([)(),...,,,(
,))(,),(,()),,()((),,(
)),(;,),(),((
*
10
1
10
0
1100
0
10
1
0
n
m
t
t
m
i
ii
m
i
ii
ttCp
txttxtdttttf
tt
R
uxxpux
pux
∈⋅λλλ=λ
ψλ+
−+λ=
=λ⋅⋅⋅Α
∫
∑∑
==
ϕ
&
2. Выписать необходимые условия оптимального в слабом смысле процесса )
ˆ
,
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
(
ˆ
10
tt⋅⋅= uxξ :
а) стационарности по x – уравнение Эйлера:
]
ˆ
,
ˆ
[)(
ˆ
)()(
ˆ
)(0)(
ˆ
)(
ˆ
10
0
ttttttftptLtL
dt
d
x
m
i
ixixx
∈∀ϕ−λ=⇔=+−
∑
=
p
&
&
для лагранжиана
)),,()((),,(
0
uxxpux tttfL
m
i
ii
ϕ−+λ=
∑
=
&
;
б) трансверсальности по x:
1,0,
ˆ
)1()
ˆ
(
ˆ
)1()
ˆ
(
ˆ
0
)()(
=ψλ−=⇔−=
∑
=
ktpltL
m
i
tixi
k
ktx
k
kx
kk
&
для терминанта
∑
=
ψλ=
m
i
ii
ttttl
0
1100
))(,),(,( xx ;
в) стационарности по u:
]
ˆ
,
ˆ
[0)(
ˆ
)()(
ˆ
0)(
ˆ
10
0
ttttttftL
m
i
uiuiu
∈∀=ϕ−λ⇔=
∑
=
p ;
г) стационарности по
k
t :
1,0,0))
ˆ
(
ˆ
ˆˆ
()
ˆ
(
ˆ
)1(0
ˆ
)(
00
1
==ψ+ψλ+λ−⇔=Α
∑∑
==
+
kttf
ktixit
m
i
i
m
i
kii
k
t
kkk
x
&
(условие стационарности по
k
t выписывается только для подвижных концов);
д) дополняющей нежесткости
mi
ii
′
==Βλ ,1,0)
ˆ
(ξ
;
е) неотрицательности
mi
i
′
=≥λ ,0,0
.
3. Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа
λ
и
)(⋅p , одновременно не равными нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи 0
0
=λ и 0
0
≠
λ . Во втором
случае можно положить
0
λ , равным единице или любой другой положительной константе.
4. Среди всех найденных в п. 3 допустимых экстремальных процессов отыскать решение или доказать, что решения
нет.
Предлагаем проверить, что правило решения составлено в полном соответствии с общим принципом Лагранжа.
Набор условий для нахождения оптимального процесса является полным. Действительно, для определения неизвестных
функций
)(),(),( ⋅⋅⋅ upx мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1) и условий б), в). Выражая из последнего (ра-
зумеется, когда это можно сделать, например, если выполнены условия теоремы о неявной функции)
)(⋅u
через )(
⋅
x и )(
⋅
p ,
мы получаем систему из 2n скалярных дифференциальных уравнений. Ее общее решение зависит от 2n произвольных посто-
янных и еще от множителей Лагранжа
i
λ , среди которых m независимых. Добавляя сюда еще
0
t и
1
t , получаем всего 2n + m
+ 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2n условий трансверсальности б), m условий дополняющей нежесткости и
заданных ограничений (3) и два условия стационарности по
k
t . Таким образом, число неизвестных совпадает с числом урав-
нений. (Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное обстоятельство не гарантирует.)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
