Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

11.2. Принцип максимума в форме Лагранжа
Задачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в пространстве
21
),(),( RRKCRKC
rn
×∆×∆ [14]:
inf),),(),((
100
→
⋅
⋅
Β
ttux ; (з)
))(),(,()( tttt uxx
ϕ
=
&
; (1)
],[)(
10
tttUt ∈
∀
∈
u ; (2)
mitt
i
′
=≤⋅⋅Β
,1,0),),(),((
10
ux ; (3)
mmitt
i
,1,0),),(),((
10
+
′
==⋅⋅Β ux
, (4)
где
mittttdttttftt
i
t
t
ii
,0)),(,),(,())(),(,(),),(),((
110010
1
0
=ψ+=⋅⋅Β
∫
xxuxux .
Здесь
∆
– заданный конечный отрезок,
∆
∈
10
, tt , f
i
: R × R
n
× × R
r
→ R – функции n + r + 1 переменных,
RRRRR →×××ψ
nn
i
:
– функции 2n + 2 переменных;
nrn
RRRR →××ϕ :
– вектор-функция n + r + 1 переменных, U –
произвольное множество из
r
R
. Частным случаем задачи (з) является задача, в которой один из концов или даже оба закре-
плены.
Вектор-функция
)(⋅x называется фазовой переменной, )(
⋅
u – управлением. Уравнение (1), называемое дифференциаль-
ной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности управления
)(
⋅
u на интервале ),(
10
tt (это множество будет
обозначаться через T).
Четверка
),),(),((
10
tt⋅⋅ ux называется управляемым процессом в задаче оптимального управления, если
),,()(
1 n
KC Rx ∆∈⋅ ),()(
r
KC Ru ∆∈⋅ и выполняются дифференциальная связь (1) и ограничение типа включения (2). Управ-
ляемый процесс является допустимым, если, кроме того, выполняются соотношения (3) и (4).
Допустимый управляемый процесс
)
ˆ
,
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
(
ˆ
10
tt⋅⋅= uxξ называется (локально) оптимальным (или еще говорят опти-
мальным в сильном смысле процессом), если существует
0>
δ
такое, что для всякого допустимого управляемого процесса
),),(),((
10
tt⋅⋅= ux
ξ
, для которого
δ<⋅−⋅
×∆
2
),(
1010
)
ˆ
,
ˆ
),(
ˆ
(),),((
RR
xx
n
C
tttt
выполняется неравенство )
ˆ
()(
00
ξξ Β≥Β .
Правило решения.
1. Составить функцию Лагранжа:
.)],,([)(),...,,,(
;))(,),(,(
)),,()((),,(
*
10
1
10
0
1100
0
1
0
n
m
m
i
ii
t
t
m
i
ii
ttKC
tttt
dttttf
Rp
xx
uxxpux
∈⋅λλλ=λ
ψλ+
+
−+λ=Α
∑
∫
∑
=
=
ϕ
&
2. Выписать необходимые условия оптимальности процесса )
ˆ
,
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
(
ˆ
10
ttux ⋅⋅=ξ :
а) стационарности по x – уравнение Эйлера:
∑
=
ϕ−λ=⇔=+−
m
i
xixixx
tttfttLtL
dt
d
0
)(
ˆ
)()(
ˆ
)(0)(
ˆ
)(
ˆ
pp
&
&
,
для лагранжиана
)),,()((),,(
0
uxxpux tttfL
m
i
ii
ϕ−+λ=
∑
=
&
;
б) трансверсальности по x:

Страницы