Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

η
t
1
< m
w
6 t
2
p
−
< p
∗
< p
+
m
w
m À 1
p
∗
mp
∗
m(1 − p
∗
) > 5
L
µ
∂ ln L
∂p
=
n
µ
∂ ln L
∂p
2
o
= −
n
∂
2
ln L
∂p
2
o
.
p ∈ (0, 1)
L(p) = p
m
w
(1 − p)
m−m
w
,
T =
m
w
− m p
p
m p (1 − p)
N(0, 1)
P{m
w
6 t |m, p} ≈ Φ
0
(T ) ,
Φ
0
(·)
P{−z
η
< T < z
η
} ≈
1
√
2π
z
η
Z
−z
η
e
−
x
2
2
dx = 2Φ
0
(z
η
) = η .
p
2
µ
1 +
z
2
η
m
− p
µ
2 ˆp +
z
2
η
m
+ ˆp
2
= 0 .
ˆp = m
w
/m p
p ˆp
0 6 p 6 1
(0, 0), (1 − c, 0), (1, 1), (c, 1) c =
1
1+z
2
η
/m
p
−
=
m
m + z
η
2
"
ˆp +
z
η
2
2m
− z
η
r
ˆp(1 − ˆp)
m
+
³
z
η
2m
´
2
#
,
p
+
=
m
m + z
η
2
"
ˆp +
z
η
2
2m
+ z
η
r
ˆp(1 − ˆp)
m
+
³
z
η
2m
´
2
#
,
0 6 ˆp 6 1 p
∗
0 1
p
∗
1 − p
∗
   Âûðàæåíèå (30) îçíà÷àåò, ÷òî ñ äîñòîâåðíîñòüþ íå ìåíüøå, ÷åì η âûïîëíÿþòñÿ
äâîéíûå íåðàâåíñòâà t1 < mw 6 t2 è p− < p∗ < p+ . Çäåñü è âûøå mw ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, à íå êàê êîíêðåòíîå å¼ çíà÷åíèå.
   Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé áèíîìèàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé (8) èëè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (28)
ÿâëÿåòñÿ âåñüìà òðóäî¼ìêîé ïðîöåäóðîé. Ïîýòîìó âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòî âîçìîæíî
(m À 1), ïðèáåãàþò ê àïïðîêñèìàöèè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
    ñëó÷àå áîëüøèõ âûáîðîê è íå ñëèøêîì ìàëûõ p∗ , òî÷íåå, åñëè îäíîâðåìåííî
mp∗ è m(1 − p∗ ) > 5 [21] äëÿ âû÷èñëåíèÿ ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ìîæíî
âîñïîëüçîâàòüñÿ àïïðîêñèìàöèåé áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíûì. Çàìåíà
áàçèðóåòñÿ íà òîì ôàêòå, ÷òî ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ ëîãàðèôìà ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ
L ðàñïðåäåëåíà àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíî ñî ñðåäíèì, ðàâíîì íóëþ è äèñïåðñèåé
                     µ        ¶     nµ ∂ ln L ¶2 o      n ∂ 2 ln L o
                       ∂ ln L
                   D            = M                = −M              .       (31)
                         ∂p              ∂p                 ∂p2
Äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è p ∈ (0, 1) ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ
åñòü
                            L(p) = pmw (1 − p)m−mw ,
è ïîëó÷àåì, ÷òî âåëè÷èíà
                                            mw − m p
                                       T = p                                                   (32)
                                             m p (1 − p)
èìååò àñèìïòîòè÷åñêè ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N (0, 1) ò.å.

                                   P{mw 6 t | m, p} ≈ Φ0 (T ) ,                                (33)

ãäå Φ0 (·)  ôóíêöèÿ ñòàíäàðòíîãî (íîðìèðîâàííîãî è öåíòðèðîâàííîãî) íîðìàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ. Â ñèëó ýòîãî
                                                 Zzη
                                        1                   x2
                    P{−zη < T < zη } ≈ √               e−   2    dx = 2Φ0 (zη ) = η .
                                         2π
                                                −zη

Òàêèì îáðàçîì ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ äëÿ ãðàíèö èñêîìîãî èíòåðâàëà
                         µ        ¶    µ           ¶
                       2
                              zη2              zη2
                      p 1+          − p 2 p̂ +       + p̂2 = 0 .                               (34)
                              m                m
Çäåñü p̂ = mw /m  íåñìåù¼ííàÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòè p.
    Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîìó óðàâíåíèþ â êîîðäèíàòàõ p è p̂ ñîîòâåòñòâóåò ýëëèïñ,
âïèñàííûé â ïîëîñó 0 6 p 6 1 è ïåðåñåêàþùèé åäèíè÷íûé êâàäðàò â òî÷êàõ
(0, 0), (1 − c, 0), (1, 1), (c, 1), ãäå c = 1+z12 /m 29 .
                                                  η
    Ðåøàÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå (34), ïîëó÷àåì
                                           "                  r                      #
                                   m               z   2
                                                                 p̂(1 − p̂)   ³ z ´2
                     
                                                     η                          η
                      p− =
                                            p̂ +         − zη              +           ,
                     
                                m  + z η
                                          2         2m               m          2m
                                            "                  r                      #   (35)
                     
                                                                             ³    ´
                     
                                   m               zη  2
                                                                 p̂(1 − p̂)     zη  2
                     
                      p+ = m + zη 2 p̂ + 2m + zη
                     
                                                                     m
                                                                            +
                                                                                2m
                                                                                        ,

 29 Âûõîä ýëëèïñà çà ïîëîñó 0 6 p̂ 6 1 ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ïðè p∗ áëèçêèõ ê 0 èëè 1 àïïðîêñèìàöèÿ (33)
íåêîððåêòíà è íàäî èñïîëüçîâàòü ïóàññîíîâñêóþ àïïðîêñèìàöèþ (äëÿ p∗ èëè 1 − p∗ , ñì. äàëåå (38) ).

Страницы