Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

p
−
, p
+
J
p
+
, t
1
p
−
, t
2
t
1
= arg max
0 t m
©
P
p
+
{m
w
6 t}
ª
=
1 − η
2
,
t
2
= arg min
0 t m
©
P
p
−
{m
w
> t}
ª
=
1 − η
2
t
1
t
2
p
+
p
−
p
+
= 1 t = m p
−
= 0
t = 0
t = 0, 1, . . .
B(t, m, p) , P
p
{m
w
6 t}
U
ν
1
, ν
2
ν
1
ν
2
B(t, m, p) = P
½
U
2(m−t), 2(t+1)
<
(t + 1)(1 − p)
(m − t) p
¾
=
= P
½
U
2(t+1), 2(m−t)
>
(m − t) p
(t + 1)(1 − p)
¾
.
p
−
=
m
w
m
w
+ (m − m
w
+ 1)F
ν
−
1
, ν
−
2
,
p
+
=
(m
w
+ 1)F
ν
+
1
, ν
+
2
m − m
w
+ (m
w
+ 1)F
ν
+
1
, ν
+
2
,
F
ν
−
1
, ν
−
2
F
ν
+
1
, ν
+
2
ν
−
1
= 2(m − m
w
+ 1), ν
−
2
= 2m
w
ν
+
1
= 2(m
w
+ 1), ν
+
2
= 2(m − m
w
)
α/2
p
−
, p
+
p
1−η
2
1+η
2
â ñèëó ÷åãî ãðàíèöû p− , p+ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà J ïî (30), êàê ïðàâèëî, íå
óñòàíàâëèâàþòñÿ îäíîçíà÷íî. Äëÿ ðàçðåøåíèÿ óêàçàííîãî çàòðóäíåíèÿ áûëè ïðåäëîæåíû
ðàçëè÷íûå ïîäõîäû.
   Ñóùåñòâóþò [22], [25], [30] ñïîñîáû èçáåæàòü íåîäíîçíà÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ ãðàíèö
äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà îñíîâàííûå íà èäåå ìîäèôèêàöèè âûðàæåíèÿ (30) ñ
ïîìîùüþ ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òàêàÿ ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ
ðàíäîìèçàöèåé. Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äàæå óêîðà÷èâàåòñÿ.
Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïîòåðè îò íîâîé íåîïðåäåë¼ííîñòè, ñâÿçàííîé ñ ââåäåíèåì
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îêàçûâàþòñÿ ìåíüøå óñòðàí¼ííûõ ïîòåðü îò íåîïðåäåë¼ííîñòè,
ñâÿçàííîé ñ íåðàâåíñòâîì.
   Â [62], [68] ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü öåíòðàëüíûå èíòåðâàëû, ò.å. ðàçäåëèòü
âåðîÿòíîñòü èíòåðâàëüíîé íåäîîöåíêè è ïåðåîöåíêè ïîðîâíó è íàõîäèòü p+ , t1 è p− , t2
èç óñëîâèé            
                                     ©               ª       1−η
                      
                       t1 = arg max Pp+ {mw 6 t} =                  ,
                                06t6m                          2
                                                                                   (39)
                      
                                      ©              ª       1 −  η
                      
                       t2 = arg min Pp− {mw > t} =
                                 06t6m                          2
ñîîòâåòñòâåííî. Çäåñü ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ t1 è t2 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ãðàíèöû p+ è
p− äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Ñëåäóåò òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî p+ = 1 ïðè t = m è p− = 0
ïðè t = 0.
   Óðàâíåíèÿ (39) èçâåñòíû ïîä íàçâàíèåì ôîðìóë Êëîïïåðà-Ïèðñîíà. Ïðÿìîé ìåòîä
èõ ðåøåíèÿ îñíîâàííûé íà ïåðåáîðå çíà÷åíèé t = 0, 1, . . . êðàòêî îïèñàí â [56] è [25].
Îäíàêî ñîîòâåòñòâóþùèé àëãîðèòì, î÷åâèäíî, äîñòàòî÷íî òðóäî¼ìîê. Ïîýòîìó áîëåå
óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ äðóãèì ìåòîäîì ðåøåíèÿ (39), îñíîâàííûì íà èñïîëüçîâàíèè
èçâåñòíîé ñâÿçè ìåæäó âåëè÷èíîé B(t, m, p) , Pp { mw 6 t} â (28) è ôóíêöèåé F -
ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Uν1 , ν2 ñ ν1 è ν2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû [34]:
                                  ½                                  ¾
                                                     (t + 1)(1 − p)
                   B(t, m, p) = P U2(m−t), 2(t+1) <                    =
                                                        (m − t) p
                              ½                                 ¾
                                                    (m − t) p
                         = P U2(t+1), 2(m−t) >                    .
                                                 (t + 1)(1 − p)

Ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ ñîîòíîøåíèé îïðåäåëÿþòñÿ òî÷íûå ôîðìóëû äëÿ ãðàíèö
öåíòðàëüíîãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. Îíè èìåþò ñëåäóþùèé âèä [21]:
                                          mw
                          
                           p− =                             ,
                          
                                mw + (m − mw + 1)Fν1− , ν2−
                          
                                                                                      (40)
                          
                                        (mw + 1)Fν1+ , ν2+
                          
                          
                           p+ =                                 ,
                                   m − mw + (mw + 1)Fν1+ , ν2+

ãäå Fν1− , ν2− è Fν1+ , ν2+  êâàíòèëè F -ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ν1− = 2(m − mw + 1), ν2− = 2mw è
ν1+ = 2(mw + 1), ν2+ = 2(m − mw ) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ñîîòâåòñòâåííî äëÿ äîâåðèòåëüíîé
âåðîÿòíîñòè îøèáêè α/2.
    Äëÿ ðåøåíèÿ (30) ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöàìè áèíîìèàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ. Ãðàíèöû p− , p+ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäóò òîãäà îïðåäåëÿòüñÿ
êàê çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè p, ïðè êîòîðîé âåëè÷èíà (8) áóäåò ðàâíÿòüñÿ 1−η           2
                                                                                     è 1+η
                                                                                        2
ñîîòâåòñòâåííî.

Страницы