Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I
p
(a, b), (0 6 p 6 1, a > 0, b > 0)
I
p
(a, b) ,
Γ(a + b)
Γ(a)Γ(b)
p
Z
0
x
a−1
(1 − x)
b−1
dx .
I
p
(a, b) ≡ 1 − I
1−p
(b, a) ,
a b
I
p
(a, b) =
a+b−1
X
k=a
µ
a + b − 1
k
p
k
(1 − p)
a+b−1−k
,
I
1−p
(b, a) =
∞
X
k=b
µ
a + k − 1
a − 1
p
a
(1 − p)
k
.
P{m
w
6 t |m, p} =
t
X
k=0
µ
m
k
p
k
(1 − p)
m−k
=
= 1 − I
p
(t + 1, m − t) = I
1−p
(m − t, t + 1) .
G(m
w
, p) = P{m
w
6 t|m, p}
I
1−p
(b, a)
b = m − t a = t + 1, t = 0, 1, . . . , m
G(m
w
, p) I
1−p
(m −t, t + 1) m
w
G(m
w
, p)
m
w
T = m
w
+ U U
(0, 1)
U T
m
w
+ 1
p
∗
J
N
= (p
−
, p
+
)
η = 2P −1 0.5 6 P < 1
I
p
−
(m
w
, m − m
w
+ 1) = 1 − P =
1 − η
2
,
I
p
+
(m
w
+ 1, m − m
w
) = P =
1 + η
2
.
m
w
< m
  Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé B -ðàñïðåäåëåíèÿ (12) ÿâëÿåòñÿ íåïîëíàÿ B -
ôóíêöèÿ, îáîçíà÷àåìàÿ Ip (a, b), (0 6 p 6 1, a > 0, b > 0):
                                                    Zp
                                         Γ(a + b)
                             Ip (a, b) ,                 xa−1 (1 − x)b−1 dx .
                                         Γ(a)Γ(b)
                                                    0

Íåïîëíàÿ B -ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì
                                     Ip (a, b) ≡ 1 − I1−p (b, a) ,
à äëÿ öåëûõ a è b èìåþò ìåñòî çàìå÷àòåëüíûå ðàâåíñòâà
                    
                    
                                  X µa + b − 1¶
                                  a+b−1
                    
                     Ip (a, b) =               pk (1 − p)a+b−1−k ,
                    
                                         k
                                  k=a
                                                                                    (42)
                        
                                        ∞ µ      ¶
                        
                                       X    a+k−1 a
                        
                                                   p (1 − p)k .
                         I1−p (b, a) =       a−1
                                        k=b

Èñïîëüçóÿ ëåãêî (42) ïîêàçàòü, ÷òî
                                              Xt µ ¶
                                                  m k
                           P{mw 6 t | m, p} =       p (1 − p)m−k =
                                              k=0
                                                  k
                           = 1 − Ip (t + 1, m − t) = I1−p (m − t, t + 1) .
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ G(mw , p) = P{mw 6 t| m, p} ñîâïàäàþò,
ñëåäîâàòåëüíî, ñî çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè B -ðàñïðåäåëåíèÿ I1−p (b, a) â öåëî÷èñëåííûõ
òî÷êàõ b = m − t è a = t + 1, t = 0, 1, . . . , m.
   ßñíî, ÷òî ïîëüçîâàòüñÿ õîðîøî èçó÷åííîé è çàòàáóëèðîâàííîé íåïîëíîé B -ôóíêöèåé
íàìíîãî óäîáíåå, ÷åì ñ áèíîìèàëüíûìè ñóììàìè (28) è (29). Îäíàêî ïðè çàìåíå
G(mw , p) íà I1−p (m − t, t + 1) âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ òðóäíîñòü. Ïîñêîëüêó mw ïîä÷èíÿåòñÿ
áèíîìèàëüíîìó çàêîíó è èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, ôóíêöèÿ G(mw , p) íå áóäåò
íåïðåðûâíîé. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâåäåò ê íåðàâåíñòâàì â ôîðìóëàõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ãðàíèö èíòåðâàëà (41), à ïðè èñïîëüçîâàíèè òàì ðàâåíñòâ  ê òîìó, ÷òî ëèáî mw äîëæíî
áûòü íåöåëûì ÷èñëîì, ëèáî ãðàíèöû èíòåðâàëà íå áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî. Â
êà÷åñòâå âûõîäà èç äàííîé ñèòóàöèè ìîæíî ïðèáåãíóòü ê ðàíäîìèçàöèè, ðàññìîòðåâ
íîâóþ ñòàòèñòèêó T = mw + U , ãäå U  ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¼ííàÿ
íà (0, 1). Íà ïðàêòèêå æå, ÷òîáû èçáåæàòü ðàíäîìèçàöèè è óñòàíîâèòü ãðàíèöû, íå
çàâèñÿùèå îò äîïîëíèòåëüíîé âåëè÷èíû U îáû÷íî âåëè÷èíó T ïðè îïðåäåëåíèè âåðõíåé
ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà çàìåíÿþò âåëè÷èíîé mw + 131 . Ïðè ýòîì âåðõíÿÿ
ãðàíèöà îêàçûâàåòñÿ íåñêîëüêî çàâûøåííîé, ÷òî, åñòåñòâåííî, êîìïåíñèðóåòñÿ áîëüøåé
âåðîÿòíîñòüþ íàêðûòèÿ èñòèííîãî çíà÷åíèÿ p∗ .
   Â ðåçóëüòàòå [7] ãðàíèöû íåéìàíîâñêîãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà JN = (p− , p+ ) ñ
êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ η = 2P − 1, ãäå 0.5 6 P < 1 ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû êàê ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé               
                                                           1−η
                        
                           Ip− (mw , m − mw + 1) = 1 − P =       ,
                                                             2
                                                                                    (43)
                        
                        
                         Ip+ (mw + 1, m − mw ) = P = 1 + η .
                        
                                                          2
 31 êîíå÷íî,   åñëè mw < m, èíà÷å èìååì ñëó÷àé ïîëíîãî ñîáûòèÿ.

Страницы