Оценка надежности классифицирующих алгоритмов. Гуров С.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

M( m; p
1
, p
2
, . . . , p
v
)
m
χ
2
T
2
χ
2
1
m p (1−p)
=
1
m p
+
1
m (1−p)
v
T
2
k
=
(m
k
− mp
k
)
2
mp
k
T
k
∼ N(0, 1), k = 1, v
η ¯p
∗
∈ S
v−1
b
¯p = (ˆp
1
, . . . , ˆp
v
) R
v
0
v
X
k=1
(m
k
− mˆp
k
)
2
mˆp
k
< χ
2
η
,
χ
2
η
η χ
2
v −1
mˆp
k
> 5, k = 1, v mˆp
k
> 1
ˆp
k
1/5
χ
2
(ˆp
1
, . . . , ˆp
v
)
J
S
= (ˆp
1
± ε
1
, . . . , ˆp
v
± ε
v
) .
(ε
1
, . . . , ε
v
) ∈ (0, 1)
v
E
i
, (ε
i
1
, . . . , ε
i
v
) ∈ (0, 1)
v
η = η(E
i
)
(m + v − 1)!
m
1
! . . . m
v
!
ˆp
1
+ε
1
Z
ˆp
1
−ε
1
. . .
ˆp
v
+ε
v
Z
ˆp
v
−ε
1
x
m
1
1
. . . x
m
v
v
dx
1
. . . dx
v
= η(E
i
) .
P
v
k=1
m
k
= m
(x
1
, x
2
, . . . , x
v
) ∈ S
v−1
S
v−1
=
n
(x
1
, x
2
, . . . , x
v
) : x
k
> 0, k = 1, v;
v
X
k=1
x
k
= 1
o
.
(íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå M ( m; p1 , p2 , . . . , pv ) ÿâëÿåòñÿ
âîñïðîèçâîäÿùèì ïî m).

    ñëó÷àå áîëüøèõ âûáîðîê ìîæíî îáîáùèòü ðåçóëüòàòû àïïðîêñèìàöèè
íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì áèíîìèàëüíîãî íà ìóëüòèíîìèàëüíîå. Ëåãêî ïîêàçàòü,
÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìóëüòèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå àïïðîêñèìèðóåòñÿ
ðàñïðåäåëåíèåì χ2 . Äåéñòâèòåëüíî, âåëè÷èíà T 2 èç (32) ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèþ χ2 ñ
                                        1
îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Êðîìå òîãî, m p (1−p) = m1p + m (1−p)
                                                         1
                                                              . Òàêèì îáðàçîì â ìíîãîìåðíîì
ñëó÷àå ìû áóäåì èìåòü v âåëè÷èí
                                                           (mk − mpk )2
                                                Tk2 =
                                                               mpk
òàêèõ, ÷òî Tk ∼ N (0, 1), k = 1, v è ïîëó÷èì, ÷òî êðàò÷àéøèé ìíîãîìåðíûé äîâåðèòåëüíûé
èíòåðâàë ñ íàä¼æíîñòüþ η äëÿ îöåíèâàíèÿ âåëè÷èíû p̄∗ ∈ Sv−1 áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé
ìíîæåñòâî âåêòîðîâ b̄ p = (p̂1 , . . . , p̂v ) èç Rv>0 äëÿ êîòîðûõ
                                         Xv
                                             (mk − mp̂k )2
                                                           < χ2η ,                                             (44)
                                         k=1
                                                 mp̂ k


ãäå χ2η  êâàíòèëü óðîâíÿ η ðàñïðåäåëåíèÿ χ2 ñ v − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû [49], [41]. Äàííàÿ
ôîðìóëà ñ÷èòàåòñÿ äîñòàòî÷íî òî÷íîé ïðè mp̂k > 5, k = 1, v èëè mp̂k > 1, êîãäà äîëÿ
òàêèõ p̂k íå ìåíåå 1/5.
   Ïðèâåä¼ííîé çàâèñèìîñòüþ èñ÷åðïûâàþòñÿ ðåçóëüòàòû ïî ïîñòðîåíèþ äîâåðèòåëüíûõ
èíòåðâàëîâ ìóëüòèíîìèàëüíî ðàñïðåäåë¼ííîé âåëè÷èíû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû ÿñíî, ÷òî
ôîðìóëà (44) êðàéíå íåóäîáíà äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ.
   Çàìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå χ2 äîïóñêàåò àïïðîêñèìàöèþ ìíîãîìåðíûì íîðìàëüíûì
ðàñïðåäåëåíèåì [48].
   Ìîæíî ïðåäëîæèòü ïðèãîäíûé äëÿ ìàëûõ âûáîðîê ÷èñëåííûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ
ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé òî÷å÷íîé îöåíêè (p̂1 , . . . , p̂v ) èíòåðâàëîâ âèäà

                                      JS = (p̂1 ± ε1 , . . . , p̂v ± εv ) .                                    (45)

Çäåñü (ε1 , . . . , εv ) ∈ (0, 1)v  òî÷íîñòè äîâåðèòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ
âåðîÿòíîñòåé.
   Îáîçíà÷èì E i , (εi1 , . . . , εiv ) ∈ (0, 1)v . Ñîãëàñíî ïîäõîäó Ð. Ôèøåðà ðàñïðåäåëåíèå
âåðîÿòíîñòåé áóäåò ÿâëÿòüñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Äèðèõëå (19) è èíòåðâàë óêàçàííîãî âèäà
áóäåò (ôèäóöèàëüíûì) äîâåðèòåëüíûì ñ äîñòîâåðíîñòüþ η = η(E i ), åñëè
                                      p̂Z
                                        1 +ε1      p̂Z
                                                     v +εv
                  (m + v − 1)!
                                             ...           xm        mv                   i
                                                            1 . . . xv dx1 . . . dxv = η(E ) .
                                                             1
                                                                                                               (46)
                   m1 ! . . . m v !
                                   p̂1 −ε1       p̂v −ε1
                                                                                       Pv
Çäåñü, åñòåñòâåííî, âûïîëíÿåòñÿ                       óñëîâèÿ        íîðìèðîâêè          k=1   mk      =   m     è
(x1 , x2 , . . . , xv ) ∈ Sv−1 , ãäå
                           n                                                    v
                                                                                X              o
                 Sv−1 =        (x1 , x2 , . . . , xv ) : xk > 0, k = 1, v;            xk = 1       .
                                                                                k=1

   Êîíå÷íî, òàêèå èíòåðâàëû íå áóäóò ÿâëÿòüñÿ êðàò÷àéøèìè íè ñ êàêîé òî÷êè çðåíèÿ,
îäíàêî îíè èñêëþ÷èòåëüíî óäîáíû â èñïîëüçîâàíèè íà ïðàêòèêå. Èíòåãðàë â (46) ìîæåò

Страницы