Задача двух тел. Холшевников К.В - 12 стр.

UptoLike

консервативную систему с шестью степенями свободы. Ее конфи-
гурационное пространство K
1
есть R
6
без трехмерной плоскости
r
1
= r
2
, на которой r = 0, а пространство скоростей K
2
совпада-
ет с R
6
. Система изолирована, а потому ее центр масс движется
прямолинейно и равномерно:
m
1
˙
r
1
+ m
2
˙
r
2
= A, m
1
r
1
+ m
2
r
2
= At + B, (1.5)
где A, B постоянные интегрирования (векторы). Вектор-
функции m
1
˙
r
1
+ m
2
˙
r
2
, m
1
(r
1
˙
r
1
t) + m
2
(r
2
˙
r
2
t) называются ин-
тегралами импульса, или интегралами центра масс, и отвечают за-
кону сохранения импульса (количества движения) или, что то же,
прямолинейности и равномерности движения центра инерции. Чуть
отступая от строгости, интегралами называют и сами соотноше-
ния (1.5). Напомним, что интегралом системы дифференциальных
уравнений называется непрерывная функция фазовых переменных
и времени, постоянная вдоль решений системы, но не сводящаяся
к тождественной постоянной.
Шесть скалярной форме) интегралов (1.5) позволяют пони-
зить порядок системы с 12 до 6. Для этого проще всего перейти
к относительному движению. Действительно, если мы знаем r,
˙
r и
значения постоянных A, B, то получим и r
i
,
˙
r
i
. Дифференциальное
же уравнение для r выводится из (1.4) элементарно и оказывается
совпадающим с уравнением (1.1), но при другом значении парамет-
ра κ:
κ
2
= G(m
1
+ m
2
).
Аналогичное утверждение справедливо и для движения точек Q
i
относительно центра масс Q
0
. Обозначая %
i
= Q
0
Q
i
барицентри-
ческий радиус-вектор точки Q
i
, получаем для %
i
то же уравне-
ние (1.1), где следует r заменить на %
i
, а параметру κ
2
присвоить
значение
κ
2
=
Gm
3
3i
(m
1
+ m
2
)
2
.
Заметим, что если масса m
2
пренебрежимо мала по сравнению с m
1
,
то уравнения относительного и барицентрического движения точки
Q
2
в пределе m
2
0 стремятся к уравнению (1.1) при κ
2
= Gm
1
,
т.е. мы возвращаемся к задаче одного притягивающего центра.
12