Задача двух тел. Холшевников К.В - 13 стр.

UptoLike

1.3. Интегралы площадей и энергии;
уравнение траектории
Мы убедились, что относительное и барицентрическое движение
в задаче двух тел совпадают с движением в задаче одного притяги-
вающего центра с модифицированным значением κ. Займемся по-
этому фундаментальным уравнением (1.1). Для наглядности счита-
ем, что оно описывает движение материальной точки Q единичной
массы в инерциальной системе отсчета Oxyz, для краткости обо-
значаемой также O, в поле центральной силы с потенциалом (1.3).
По общим теоремам механики точки это уравнение обладает инте-
гралом площадей
r ×
˙
r = c (1.6)
и интегралом энергии
˙
r
2
2
κ
2
r
= h. (1.7)
Здесь c произвольная векторная, а h скалярная постоянная.
Каждая из них по отдельности может принимать любые значения;
при любом h направление вектора c может быть произвольным.
Однако значения пары (c, h) заполняют лишь часть полуплоскости,
см. ниже неравенство (1.19).
Мы получили 10 (в скалярной форме) классических интегралов
(1.5)–(1.7), пользуясь лишь общими теоремами механики изолиро-
ванной консервативной системы точек. Тем самым задачу можно
свести к системе второго порядка. Выполним это свед´ение и убе-
димся, что приведенная система останется консервативной систе-
мой на плоскости, к тому же с циклической переменной, так что
интегрирование выполняется без труда. «Сверх программы» вы-
яснится, что интегралы окажутся элементарными в подходящих
переменных, найденных еще Кеплером.
Консервативность приведенной системы влечет существование
еще одного интеграла. В качестве последнего возьмем интеграл Ла-
пласа
˙
r × c
κ
2
r
r
= e, (1.8)
где e постоянный вектор. Векторный интеграл Лапласа равно-
силен трем скалярным, но только один из них независим от (1.6),
(1.7): напомним, что автономная система шестого порядка имеет не
13