Составители:
Как видим, амплитуда старшего члена здесь на множитель e/8
меньше, чем в (3.159): угол
˜
θ растет почти равномерно со време-
нем при умеренных эксцентриситетах.
Найдем чебышевскую норму (максимум модуля) разности
˜
θ−M.
По нечетности достаточно найти максимум
˜
θ −M. С погрешностью
∼ e наибольшее значение достигается при sin 2M = 1, M = −3π/4.
Положим M = −3π/4 + x, x ∼ e и представим (3.161) рядом
˜
θ −M =
e
2
4
"
1 +
2
√
2
3
e + 2
√
2ex − 2x
2
+ . . .
#
. (3.162)
Отброшенные члены или имеют вид Ae
2
и не влияют на положение
максимума, или имеют более высокий порядок малости. Наиболь-
шее значение 1 + 2
√
2e/3 + e
2
трехчлен в квадратных скобках при-
нимает при x = e/
√
2. Поскольку отброшенные слагаемые вида Ae
2
влияют на значение максимума, окончательный результат таков:
k
˜
θ − M k =
e
2
4
+
√
2
6
e
3
+ . . . (3.163)
в согласии с задачей 1.51.
3.8. Сходимость рядов
За редкими исключениями сходимость введенных в этой главе
рядов не исследовалась. Заполним этот пробел. Ввиду трудности
материала доказательства приводим не полностью.
3.8.1. Сходимость рядов по степеням времени
Рассмотрим сначала эллиптический случай a > 0, 0 6 e < 1. По-
скольку M — линейная функция времени, достаточно рассмотреть
разложения по степеням (M −M
0
). Все величины M
0
, a, e, . . . счита-
ются фиксированными вещественными параметрами, а M — комп-
лексной переменной. Прежде всего взглянем на уравнение Кеплера
E − e sin E = M (3.164)
как на соотношение вида M = F (E) с параметром e, которое на-
до разрешить относительно E: E = Φ(M). Наша задача — найти
131
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- …
- следующая ›
- последняя »
