Составители:
3.8.2. Сходимость рядов по степеням
эксцентриситета
Здесь нужен только эллиптический случай. Основные функции
небесной механики — целые относительно e,
√
1 − e
2
, (1 ±e cos E)
s
.
Последнюю величину можно заменить на (1 ± e cos θ)
s
.
Примем за независимые переменные пару (e, E). Выбор третьей
переменной, например a, p, q
π
= a(1−e) или q
α
= a(1+e), не играет
роли. Обозначим R
E
наименьший по всем вещественным E радиус
сходимости разложений по степеням эксцентриситета. Очевидно,
что R
E
равен единице или бесконечности. То же верно и для пары
(e, θ). Нетривиальна только пара (e, M), и опять все определяют
свойства решений уравнения Кеплера. Теперь его надо переписать
в виде
e = F (E) =
E − M
sin E
, (3.179)
где M считается вещественным параметром. Нужно найти особые
точки обратной функции E = Φ(e).
Функция F уже не целая, и к вышеперечисленным двум классам
особенностей Φ нужно добавить третий: особенности F , т. е. точки
E = kπ. Если M 6= kπ, то (3.179) дает неинтересную сингулярность
e = ∞. Пусть M = kπ. Положим E = kπ + x и получим из (3.179)
e = (−1)
k
x
sin x
−→ (−1)
k
при x → 0.
Сингулярности e = ±1 тоже неинтересны. Можно показать, что
асимптотические особенности отсутствуют (Холшевников, 1985).
Для нахождения алгебраических составим производную
dF (E)
dE
=
1 − e cos E
sin E
.
Корни знаменателя только что исследованы. Остаются корни чис-
лителя, и мы опять приходим к уравнению (3.166), точнее, к систе-
ме (3.164), (3.166). Существенная разница с ситуацией предыдущего
раздела: теперь e комплексно, а M вещественно. Из (3.164), (3.166)
следует
e =
E − M
sin E
=
1
cos E
.
138
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- …
- следующая ›
- последняя »
