Задача двух тел. Холшевников К.В - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Полагая E = u + iv, отсюда получаем
(u − M) cos u ch v + v sin u sh v = sin u ch v,
−(u − M ) sin u sh v + v cos u chv = cos u sh v,
|e| = (ch
2
v − sin
2
u)
−1/2
. (3.180)
При sin u = 0 ⇐⇒ u = kπ первые два уравнения (3.180) перехо-
дят в
(u − M) ch v = 0, v ch v = sh v =⇒ v = 0, M = u = kπ, |e| = 1.
При cos u = 0 ⇐⇒ u = 2kπ ± π/2 первые два уравнения перехо-
дят в
v sh v = ch v, (u −M) sh v = 0 =⇒ u = M = 2kπ ± π/2 .
В этом случае v = 1.199678640 есть корень уравнения v = cth v;
|e| = 1/ sh v = 0.662743419.
Итак, радиус сходимости R(M ) разложений по степеням эксцен-
триситета при M = kπ равен единице, при M = 2kπ ±π/2 равен
R
0
= R(π/2) = 0.662743419.
Можно показать, что
R
0
6 R(M) 6 1. (3.181)
Число R
0
называют пределом Лапласа. При |e| < R
0
ряды по степе-
ням эксцентриситета сходятся при всех M. При |e| > R
0
найдутся
такие значения M, для которых ряды расходятся.
Замечание 1. Общий член ряда по степеням эксцентриситета
имеет порядок
n
σ
e
R(M)
n
,
где R(M) — единый для всех рассмотренных функций радиус схо-
димости, σ зависит от вида функции. Грубо говоря, ряд сходится
как геометрическая прогрессия со знаменателем e/R(M), в худшем
случае он равен e/R
0
≈ (3/2)e.
Замечание 2. Если вместо эксцентриситета использовать пере-
менную Леви-Чивита γ, то радиус сходимости возрастет до едини-
цы (Уинтнер, 1967). Однако практики предпочитают e или β по
139

Страницы