Составители:
в задачах 3.36, 3.37. Здесь остановимся на рядах для координат
(3.127) и скоростей (3.128). Из неравенств (3.129) вытекает абсо-
лютная и равномерная сходимость рядов (3.127) в полосе 0 6 e 6 1,
−∞ < M < ∞. Ряды (3.128) сходятся абсолютно и равномерно в
полосе 0 6 e 6 e
0
, −∞ < M < ∞ при любом положительном e
0
< 1.
Первый из рядов (3.128) сходится в полосе 0 6 e 6 1, −∞ < M < ∞;
при e = 1, 0 < M < π он сходится условно; при e = 1, M = π ряд
(из нулей) сходится абсолютно к нулевому значению скорости; при
e = 1, M = 0 ряд (из нулей) сходится к нулю, тогда как значение
˙
ξ в
этой точке бесконечно. Второй из рядов (3.128) в полосе 0 6 e 6 1,
−∞ < M < ∞ сходится абсолютно, являясь при e = 1 рядом из
нулей.
Замечание. Во многих руководствах по небесной механике, даже
изданных в XXI веке, приводятся неверные сведения о сходимости
рядов Фурье по средней аномалии, вплоть до утверждений об их
условной сходимости при эксцентриситете, превышающем предел
Лапласа. Последний не имеет никакого отношения к сходимости
рядов Фурье.
3.8.4. Сходимость рядов Пуассона
Рассмотрим функцию двух переменных f(x, y), голоморфную в
произведении круга на полосу
|x| < R, |=y| < ρ (3.184)
и 2π-периодическую по y. Она может быть представлена там абсо-
лютно сходящимся рядом
f(x, y) =
∞
X
k=0
∞
X
n=−∞
a
kn
x
k
Exp ny, (3.185)
называемым рядом Фурье–Тейлора или рядом Пуассона. При веще-
ственных значениях аргументов степенной порядок общего члена
(3.185) есть
x
R
k
exp(−|n|ρ). (3.186)
Изученные выше функции от e, M принадлежат рассматриваемо-
му классу. Есть два эквивалентных пути явного получения (3.185).
Можно разложить f в ряд Маклорена по e с коэффициентами
141
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- …
- следующая ›
- последняя »
