Составители:
3. Повторный ряд с внутренним суммированием по степеням
экцентриситета. Это ряд вида
f(e, M) =
∞
X
n=−∞
∞
X
k=0
c
nk
e
k
!
Exp nM. (3.190)
Внешний ряд сходится абсолютно для всех вещественных M при
0 6 e < 1. Радиус сходимости внутреннего ряда равен или бес-
конечности, или единице. Абсолютная сходимость внешнего ряда
означает сходимость ряда
∞
X
n=−∞
∞
X
k=0
c
nk
e
k
,
а не ряда
∞
X
n=−∞
∞
X
k=0
|c
nk
|e
k
.
Задачи к главе 3
Задача 3.1. Найти общий член ряда Ли (3.3) для скалярного слу-
чая N = 1, f(t, x) = 1, g = g(x).
Ответ:
D =
d
dx
, D
k
g =
d
k
g(x)
dx
k
,
так что
g(x + τ) =
∞
X
k=0
τ
k
k!
d
k
g(x)
dx
k
.
Таким образом, ряд Тейлора является частным случаем ряда Ли.
Задача 3.2. Пусть функции f , g не зависят от t. Показать, что
D
k
g ≡ D
k
1
g, где операторы D и D
1
определены как правые части
формул (3.4) и (3.8).
Задача 3.3. Доказать правило Лейбница для оператора D
D(g
1
∗ g
2
) = (Dg
1
) ∗ g
2
+ g
1
∗ (Dg
2
)
в следующих случаях:
143
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- …
- следующая ›
- последняя »
