Задача двух тел. Холшевников К.В - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

а) g
1
и g
2
— скаляры, звездочкой обозначена операция умножения;
б) g
1
и g
2
— векторы одинаковой размерности, звездочкой обозначе-
на операция скалярного или векторного произведения (в последнем
случае размерность должна быть равна трем);
в) g
1
и g
2
— прямоугольные матрицы размером s
1
× s
2
и s
2
× s
3
,
звездочкой обозначена операция матричного умножения. В случае
векторного или матричного умножения переставлять сомножители
в общем случае нельзя.
Задача 3.4. Показать дифференцированием по τ , что из формул
(3.13), (3.14) для r(t+τ), F, G следуют формулы для v(t +τ), F
0
, G
0
,
причем F
0
= dF/dτ, G
0
= dG/dτ .
Задача 3.5. Показать, что ξ, ζ имеют размерность с
−2/3
, а η —
размерность с
1/3
.
Задача 3.6. Показать, что F
k
, G
k+1
при k > 1 суть многочлены от
ξ, η, ζ с целыми коэффициентами степени не выше 3(k − 1).
Задача 3.7. Показать, что степень многочленов F
k
, G
k+1
при k > 2
равна 3(k −1).
Указание. Показать, что F
k
имеет единственный старший член
(−1)
k+1
(2k −3)!!ξ
2k−1
η
k−2
, а G
k
имеет единственный старший член
(−1)
k
(k −2)(2k −5)!!ξ
2k−3
η
k−3
. Старшинство можно понимать как
по совокупности переменных ξ, η, ζ, так и по переменным ξ и η по
отдельности.
Задача 3.8. Показать, что при k > 2 степень многочленов F
k
, G
k+1
относительно ξ, η равна 2k − 1, k − 2 соответственно.
Задача 3.9. Доказать по индукции, что γ
n
в формуле (3.46) зна-
кочередуются и возрастают по абсолютной величине; отношение
|γ
n
/γ
n−1
| убывает и стремится к единице при n → ∞.
Задача 3.10. С помощью формулы (3.28) Бюрмана–Лагранжа по-
казать, что ряд (3.56) можно представить в форме
β =
∞
X
n=1
c
n
¯γ
n
при
c
n
=
exp n
n!
d
n−1
dβ
n−1
exp
n
β
2
− 1
β
2
+ 1

β=0
.
Проверить, что c
n
рациональны, причем c
n
= 0 при четном n.
144

Страницы