Составители:
Поскольку матрица A
2
постоянна, преобразование (1.14) связы-
вает и скорости
˙
r,
˙
r
2
. В системе O
2
справедливы уравнения (1.1)
и инвариантные соотношения (1.6,1.7). Кроме того, z
2
тождествен-
но равно нулю. Более того, постоянная энергии h сохраняет то же
значение, как и вектор c. Координатное выражение последнего в
системе O
2
принимает вид (0, 0, c). До конца параграфа, если не ого-
ворено противное, мы будем работать только в системе O
2
, опуская
у переменных индекс 2. Первые две компоненты векторного инте-
грала (1.6) вырождаются в тривиальное 0 = 0, а третья принимает
вид x ˙y − y ˙x = c. Перейдем к полярным координатам
x = r cos u, y = r sin u,
в которых интегралы площадей и энергии записываются в виде
r
2
˙u = c, ˙r
2
+ r
2
˙u
2
− 2κ
2
/r = 2h. (1.15)
Поскольку r > 0, переменную ˙u справа можно исключить:
˙u =
c
r
2
, ˙r
2
= 2h +
2κ
2
r
−
c
2
r
2
. (1.16)
Второе из соотношений (1.16) есть уравнение с разделяющимися
переменными и интегрируется одной квадратурой, после чего еще
одна квадратура решает первое из этих уравнений. Фактическое
интегрирование проводится несколько иначе.
Рассмотрим сначала случай c > 0. Тогда ˙u > 0 и угол u может
играть роль независимой переменной. Из (1.16) с очевидностью вы-
текает
dr
du
2
=
2h
c
2
r
4
+
2κ
2
c
2
r
3
− r
2
.
Предложенная Бине подстановка
w =
1
r
−
κ
2
c
2
приводит к простому уравнению
(dw/du)
2
= A
2
− w
2
, (1.17)
где
A =
r
κ
4
c
4
+
2h
c
2
. (1.18)
18
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
