Задача двух тел. Холшевников К.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

на практике? Разработаны многие сотни, если не тысячи спосо-
бов решения. Каждый год (см. реферативный журнал Астроно-
мия) появляется несколько новых. Это хотя бы частично оправдано
тем, что во многих астрономических центрах и центрах управления
космическими полетами уравнение Кеплера решается многократно
для сотен тысяч внесенных в каталоги небесных тел с известными
с различной степенью точности орбитами, так что нужны близкие
к оптимальным алгоритмы. Часть их можно найти в монографии
(Battin, 1999). В этой книге мы ограничимся лишь тремя, два из
которых приведены в главе 3, а один опишем сейчас. Перепишем
уравнение (1.36) в форме
E = f(E) при f(E) = M + e sin E (1.40)
и применим к нему метод итераций
E
k+1
= f(E
k
) = M + e sin E
k
. (1.41)
За начальное приближение можно взять E
0
= M. Достаточное
условие сходимости (при произвольном начальном приближении)
|f
0
(E)| = |e cos E| 6 e < 1 на эллипсе всегда выполняется. Итера-
ции сходятся со скоростью геометрической прогрессии со знамена-
телем e.
При e = 1 в точках E = sπ имеем |f
0
(E)| = 1. Возьмем наихуд-
ший случай M = 0, E
0
= α, 0 < α 6 1 (так как |E−M| = |sin E| 6 1,
то допустимо считать |α| 6 1; случай отрицательного α практи-
чески не отличается от случая α > 0; случай M = π аналоги-
чен случаю M = 0). Очевидно E
n
= sin
[n]
α, где sin
[1]
α = sin α,
sin
[n]
α = sin(sin
[n−1]
α). Поскольку 0 < sin
[n+1]
α < sin
[n]
α, то по-
следовательность E
n
убывает и ограничена снизу. Следовательно,
она имеет предел E
∗
. Как известно, предел удовлетворяет уравне-
нию (1.40).
Таким образом, итерации (1.41) сходятся всегда, хотя при боль-
шом эксцентриситете в апсидальных точках сходимость очень мед-
ленна. Конечно, при M = 0 или M = π надобности в итерациях
нет — мы знаем точное решение (E = 0 и соответственно E = π).
Неприятности происходят вблизи этих точек.
Перейдем к гиперболе. Можно получить аналоги выведенных
для эллипса формул, идя тем же путем и используя стандартную
параметризацию гиперболы (точнее, ее ветви). Но проще заметить,
26

Страницы