Задача двух тел. Холшевников К.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

θ пробегает интервал от −θ
0
до θ
0
. Поскольку |θ/2| < π/2, в фор-
муле типа (1.29) нет необходимости. Для гиперболы аналог (1.28)
свободен от сингулярностей, так что
θ = 2 arctg
r
e + 1
e − 1
th
H
2
!
,
H = ln
1 + ξ
1 −ξ
при ξ =
r
e −1
e + 1
tg
θ
2
. (1.43)
Функция e sh H −H возрастает вместе с H при фиксированном
e > 1, поэтому она имеет обратную, также возрастающую функ-
цию. Иными словами, кинематическое уравнение
e sh H − H = M (1.44)
имеет единственное решение для любых M ∈ (−∞, ∞), e ∈ [1, ∞).
Как и для эллипса, уравнение (1.44) перепишем в удобной для
итераций форме H = f(H), где
f(H) = Arsh
H + M
e
= ln
H + M
e
+
s
1 +
H + M
e
2
,
и решим его по схеме
H
k+1
= f (H
k
), H
0
= 0. (1.45)
Теперь
f
0
(H) =
e
s
1 +
H + M
e
2
−1
.
На гиперболе итерации (1.45) сходятся со скоростью геометриче-
ской прогрессии со знаменателем 1/e. При e = 1 сходимость тоже
гарантирована, хотя в окрестности перицентра H = M = 0 она
чрезвычайно медленна.
Формула f(e, θ, H) = 0, если θ встречается только под знаком
тригонометрических, а H — гиперболических функций, остается
справедливой при подстановке e 7→ −e, θ ←→ H с одновременной
взаимной заменой тригонометрических и гиперболических функ-
ций.
28

Страницы