Задача двух тел. Холшевников К.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

новременном изменении знака e. Иными словами, из равенства
F (θ,
˜
θ, e) = 0 следует F (
˜
θ, θ, −e) = 0.
Несложные выкладки с использованием формул задачи 1.22 да-
ют
cos
˜
θ =
cos E + e
1 + e cos E
, sin
˜
θ =
√
1 − e
2
sin E
1 + e cos E
,
cos E =
cos
˜
θ −e
1 − e cos
˜
θ
, sin E =
√
1 − e
2
sin
˜
θ
1 − e cos
˜
θ
. (1.51)
Сравнение с формулами задачи 1.22 показывает, что
˜
θ(e, E) = θ(−e, E), E(e,
˜
θ) = E(−e, θ). (1.52)
Любую формулу, связывающую θ и E, можно тем самым преобра-
зовать к формуле, связывающей
˜
θ и E. Достаточно сделать подста-
новку
e 7−→ −e, E 7−→ E, θ 7−→
˜
θ.
Например, из равенств (1.28)–(1.29) следует
tg
˜
θ
2
=
r
1 − e
1 + e
tg
E
2
,
E −
˜
θ = 2 arctg
β sin E
1 + β cos E
= 2 arctg
β sin
˜
θ
1 − β cos
˜
θ
. (1.53)
1.5. Близпараболическое движение
При c > 0, p > 0, h = 0, e = 1 движение происходит по парабо-
ле. Очевидно, что эллипсы и гиперболы приближаются к параболе
(к любой конечной ее части) при p = const, 1/a → 0 сколь угод-
но близко. Однако формулы (1.42) переходят либо в тривиальные
n = M = E = H = 0, либо в неопределенности вида 0 · ∞ или
0/0. Необходим предельный переход. Следуя Эйлеру, мы получим
сначала формулы для близпараболического движения: ведь сколь
угодно малым шевелением h мы превращаем параболу в эллипс или
гиперболу.
Параметризуем коническое сечение переменной σ = tg θ/2. Эта
подстановка хорошо известна в интегральном исчислении:
cos θ =
1 − σ
2
1 + σ
2
, sin θ =
2σ
1 + σ
2
, dθ =
2
1 + σ
2
dσ. (1.54)
31

Страницы