Составители:
Иными словами, при фиксированном µ ряд сходится вплоть до зна-
чений σ = ±σ
0
, где σ
0
=
p
1/|µ|. Для эллипса
σ
0
= tg
θ
0
2
=
r
1 + e
1 − e
, E
0
=
π
2
,
что отвечает вершинам эллипса, лежащим на малой оси. Таким об-
разом, уравнение (1.61) пригодно на половине эллипса, содержащей
перицентр.
Для гиперболы
σ
0
= tg
θ
0
2
=
r
e + 1
e − 1
, H
0
= ∞,
т.е. сходимость имеет место на всей гиперболе. Заметим, что θ
0
совпадает с верхней гранью для истинной аномалии гиперболы, так
что обозначение θ
0
оправдано.
Замкнутое выражение для производной от левой части (1.62) по
σ согласно (1.59) равно
1 + σ
2
(1 −µσ
2
)
2
,
что положительно при условии (1.63). Таким образом, левая часть
равенства (1.62) строго возрастает, поэтому уравнение (1.62) при
условии (1.63) имеет единственное решение на гиперболе и указан-
ной части эллипса. Для параболы
σ +
σ
3
3
=
2
3
M
∗
, n
∗
= 3κp
−3/2
. (1.64)
Как видим, аналог уравнения Кеплера для параболы значитель-
но проще: это кубичное уравнение с нулевым коэффициентом при
σ
2
. Левая часть (1.64) возрастает, так что σ находится однозначно
по правой части (1.64). Это вытекает также из формулы Кардано,
дающей явное выражение для σ:
σ =
3
q
p
1 + M
∗
2
+ M
∗
−
3
q
p
1 + M
∗
2
− M
∗
. (1.65)
33
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
