Задача двух тел. Холшевников К.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Формулы (1.20), (1.26) переходят в
r =
q(1 + σ
2
)
1 −µσ
2
, x
3
=
q(1 −σ
2
)
1 −µσ
2
, y
3
=
2qσ
1 −µσ
2
, (1.55)
где q = p/(1 + e) — перицентрическое расстояние,
µ =
e −1
e + 1
, e =
1 + µ
1 −µ
. (1.56)
На эллипсе 0 6 e < 1, −1 6 µ < 0; на гиперболе 1 < e < ∞,
0 < µ < 1; на параболе e = 1, µ = 0, q = p/2. Для параболы
формулы (1.55) упрощаются:
r = q(1 + σ
2
), x
3
= q(1 − σ
2
), y
3
= 2qσ. (1.57)
Осталось получить кинематическое уравнение, для чего перепи-
шем интеграл площадей (1.15) с учетом (1.20) в виде
r
2
˙
θ = κ
√
p. (1.58)
Перейдем к переменной σ с помощью (1.54)–(1.55):
1 + σ
2
(1 −µσ
2
)
2
dσ =
2
3
n
∗
dt, (1.59)
где
n
∗
=
3
4
κp
−3/2
(1 + e)
2
. (1.60)
Разложим левую часть (1.59) в ряд по степеням µ:
∞
X
k=0
(k + 1)(1 + σ
2
)σ
2k
µ
k
dσ =
2
3
n
∗
dt. (1.61)
После интегрирования
∞
X
k=0
(k + 1)
σ
2k+1
2k + 1
+
σ
2k+3
2k + 3
µ
k
=
2
3
M
∗
при M
∗
= n
∗
(t − T ).
(1.62)
Очевидно, что область сходимости рядов (1.61)–(1.62) дается нера-
венством
|µσ
2
| < 1. (1.63)
32

Страницы