Составители:
1.7. Матрица сдвига вдоль траектории
Задача одного притягивающего центра (1.1) является частным
случаем динамической системы, описываемой автономной системой
дифференциальных уравнений шестого порядка
˙
x = f(x), (1.86)
где x — шестимерный фазовый вектор, распадающийся на два трех-
мерных вектора положения и скорости x = (r, v). Вектор x изме-
няется в некоторой области K пространства R
6
, f — вещественно-
аналитическая функция K 7−→ R
6
. Решить уравнения (1.86) — зна-
чит найти оператор сдвига вдоль траектории, позволяющий по
значению фазового вектора x
0
= (r
0
, v
0
) в эпоху t
0
получить его
значение в эпоху t. В общем случае система (1.86) не интегрируется
и оператор сдвига определяется численными методами, хотя многие
его свойства могут быть установлены аналитически (например, со-
хранение энергии и фазового объема для консервативных систем).
Система (1.1) проинтегрирована, и тем самым для нее найден
оператор сдвига. Запишем его явно в виде функциональной (2 ×2)-
матрицы.
Для непрямолинейной траектории векторы r
0
, v
0
неколлине-
арны и определяют плоскость движения. Любой лежащий в этой
плоскости вектор однозначно представляется их линейной комби-
нацией. В частности,
r = F r
0
+ Gv
0
, v = F
0
r
0
+ G
0
v
0
, (1.87)
где скаляры F, G, F
0
, G
0
зависят от t, t
0
и постоянных интегрирова-
ния.
Для прямолинейной траектории векторы положения и скорости
коллинеарны. Разложение (1.87) сохраняет силу, хотя и теряет од-
нозначность. Последняя восстанавливается предельным переходом.
Итак, представление (1.87) универсально. Удобно записать его
в матричной форме:
x = Bx
0
⇐⇒
r
v
= B
r
0
v
0
, (1.88)
где
B =
F G
F
0
G
0
.
40
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
