Задача двух тел. Холшевников К.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Итак, мы построили H(b) как вложенное в R
6
посредством со-
отношений (2.1, 2.2) пятимерное многообразие. Иными словами,
H(b) — часть вложенного в R
6
пятимерного конуса второго поряд-
ка (2.1), расположенная вне произведения трехмерного простран-
ства векторов e на трехмерный шар c
2
1
+ c
2
2
+ c
2
3
6 b
2
простран-
ства векторов c. При b = 0 удаляемый шар схлопывается в точ-
ку c
1
= c
2
= c
3
= 0. Многообразие некомпактно. Во-первых, оно
неограничено. Во-вторых, его дополнение до конуса (2.1) содержит
край c
2
1
+ c
2
2
+ c
2
3
= b
2
. При b > 0 его можно добавить в H(b), по-
лучив многообразие H(b) с краем. При b = 0 этого делать нельзя.
Действительно, точке (c, e) = (0, 0, 0; 2, 0, 0) не отвечает ни одна ор-
бита (прямолинейные орбиты имеют единичный вектор Лапласа), а
точке (0, 0, 0; 1, 0, 0) отвечает континуум прямолинейных орбит при
произвольном h.
В H(b) естественно ввести метрику, отвечающую метрике объ-
емлющего пространства R
6
, например, евклидову. Именно, любым
двум орбитам E
k
(c
k
, e
k
) ∈ H(b) сопоставим расстояние между ними
%(E
1
, E
2
) =
r
1
κ
2
a
0
(c
1
− c
2
)
2
+ (e
1
− e
2
)
2
. (2.4)
Здесь a
0
> 0 — имеющий размерность длины масштабный множи-
тель; расстояние (2.4) оказывается безразмерным. Если потребо-
вать, чтобы расстояние имело размерность длины, следует % заме-
нить на %
∗
= a
0
%.
Теорема 1
Пространство H(b), b > 0 связно.
Доказательство. Пусть E
k
(c
k
, e
k
) ∈ H(b), k = 1, 2. Соединим эти
две точки расположенной в H(b) непрерывной кривой следующим
образом.
1. Начинаем с точки E
1
(c
1
, e
1
). Не меняя направления e
1
, уменьша-
ем его длину до нуля. Приходим к точке E
3
(c
1
, 0).
2. Поворачиваем c
1
до совпадения его направления с направлением
c
2
. Приходим к точке E
4
(c
1
c
2
/c
2
, 0).
3. Не меняя направления вектора площадей, изменяем монотонно
его длину до длины c
2
. Приходим к точке E
5
(c
2
, 0).
4. Вектор Лапласа увеличиваем в направлении e
2
от 0 до e
2
. При-
ходим к точке E
2
(c
2
, e
2
).
57

Страницы