Составители:
сходится в себе в метрике % и расходится в метрике %
1
. Грубо говоря,
для метрики % все прямолинейные орбиты одинаковы, а метрика %
1
их различает по энергии h.
Теорема 3
Пространство H связно.
Доказательство. Если c
1
6= 0, c
2
6= 0, то достаточно сослаться
на теорему 1 с учетом эквивалентности метрик ρ, ρ
1
в H(b) при
2b = min{|c
1
|, |c
2
|}. Если c
1
= c
2
= 0, то достаточно повернуть еди-
ничные векторы e
1
, e
2
до совпадения и изменить h
1
до совпадения
с h
2
.
Пусть c
1
6= 0, c
2
= 0. Повернем пару (c
1
, e
1
) так, чтобы направ-
ления e
1
и e
2
совпали. Затем изменим длину e
1
до его совпадения с
e
2
, одновременно изменяя h
1
до нуля в согласии со вторым из урав-
нений (2.7). Далее, не меняя направления c
1
, уменьшим его длину
до нуля. Наконец, изменим h
1
от нуля до h
2
. Все выполненные опе-
рации не нарушали соотношений (2.7). Теорема доказана.
Теорема 4
Пространство H есть пятимерное открытое многообразие.
Рассмотрим произвольную точку E
0
∈ H. Если она лежит в
H(0), то по теореме 2 она входит в H(0) вместе с некоторой окрест-
ностью в смысле метрики %, а, следовательно, и в смысле метри-
ки %
1
.
Пусть E
0
представляет собой прямолинейную орбиту. Поворачи-
вая оси, запишем ее координаты в виде E
0
(0, 0, 0; 0, 0, 1; h
0
). Коор-
динаты поизвольной близкой к E
0
точки E ∈ H представим в виде
c
1
= z
1
, c
2
= z
2
, c
3
= f(z); e
1
= z
3
, e
2
= z
4
, e
3
= 1+g(z); h = h
0
+z
5
,
(2.11)
где в силу (2.1)
z
1
z
3
+z
2
z
4
+(1+g)f = 0, 2(h
0
+z
5
)(z
2
1
+z
2
2
+f
2
) = z
2
3
+z
2
4
+(1+g)
2
−1.
(2.12)
Обозначая временно x = (1+g)
2
, найдем из первого из соотношений
(2.12)
f = −
z
1
z
3
+ z
2
z
4
√
x
. (2.13)
60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
